Jak wyliczyć kąt

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: MuniekMg »

Witam, nie potrafię sobie poradzić z wyliczeniem kąta tej liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ z ^{3} =(3-i) ^{6}}\)
Z góry dziękuje za pomoc
Mi kąt wychodzi \(\displaystyle{ \alpha \approx}\) 250 stopni
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: pyzol »

A w zadaniu masz wyliczyć kąt, czy po prostu rozwiązać te równanie?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: »

Ale nie musisz wcale liczyć kąta.

Jeśli \(\displaystyle{ \varepsilon_0, \varepsilon_1,\varepsilon_2}\) to pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki, tzn. \(\displaystyle{ \varepsilon_k^3=1}\), to rozwiązaniami Twojego równania są:
\(\displaystyle{ z_k=(3-i)^2\cdot \varepsilon_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\)

Q.
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: MuniekMg »

Rozwiązać równanie ale ja umiem tylko sposób gdzie używam kątów.
Teraz spróbuje zrozumieć sposób Pana Q.
A jeśli Pyzol miałbyś jakiś inny to prosiłbym
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: pyzol »

Nie właśnie o to chodzi, mogę to bardziej rozpisać, ewentualnie.
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: MuniekMg »

jakby się dało to prosiłbym o rozpisanie
A jakbym chciał zrobić to zwykłym sposobem:
\(\displaystyle{ W _{k} = \sqrt{\left| z\right| } \cdot (\cos \alpha + i\sin \alpha )}\)
to jaki byłby kąt?
Ostatnio zmieniony 6 lut 2012, o 15:11 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin \cos oraz \cdot a nie *
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: »

Zwykłym sposobem kąt możesz wyznaczyć jedynie przy użyciu funkcji cyklometrycznych, co z praktycznego punktu widzenia nie ma sensu.

A podany sposób jest najprostszy i naturalny. Zauważamy najpierw, że wyjściowe równanie ma dokładnie trzy rozwiązania; potem odgadujemy jedno z nich (co w tym wypadku jest bardzo łatwe), czyli \(\displaystyle{ (3-i)^2}\), a na końcu zauważamy, że pomnożenie tego odgadniętego przez pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki nic nie psuje, bo:
\(\displaystyle{ z_k^3=\left( (3-i)^2\cdot \varepsilon_k\right)^3= (3-i)^6\cdot \varepsilon_k^3= (2-i)^6}\)
Wskazaliśmy więc trzy różne rozwiązania, a zatem siłą rzeczy: wszystkie rozwiązania.

Q.
MuniekMg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2012, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Jak wyliczyć kąt

Post autor: MuniekMg »

logiczne i proste, dziękuje:)
ODPOWIEDZ