ważne rownanie

antol · Post autor: **antol** » 5 lut 2012, o 20:26

\(\displaystyle{ z^{3}=i \cdot [(z+2i) ^{3}]}\)

Jak to szybko rozwiązać.
próbowałem w ten sposób aby policzyć 3 pierwiastki z \(\displaystyle{ i}\) i potem po kolei mnożyć je przez \(\displaystyle{ \frac{z}{z+2i}}\), ale coś mi przestało wychodzić. Później probowałem korzystać ze wzorów skróconego mnożenia i sie w końcu pogubiłem. Proszę o rade. Z góry dzieki

sdamian · Post autor: **sdamian** » 5 lut 2012, o 22:24

przedstaw równanie w postaci \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{i}(z+2i) (\ast)}\)
liczysz pierwiastki stopnia trzeciego z \(\displaystyle{ i}\)
i każdy z nich podstawiasz do równania \(\displaystyle{ (\ast)}\)

antol · Post autor: **antol** » 5 lut 2012, o 22:41

sdamian pisze:przedstaw równanie w postaci \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{i}(z+2i) (\ast)}\)
liczysz pierwiastki stopnia trzeciego z \(\displaystyle{ i}\)
i każdy z nich podstawiasz do równania \(\displaystyle{ (\ast)}\)

no dobra wyliczyłem 1 z pierwiastków \(\displaystyle{ wi_0=-i}\)
no i podstawiam do rownania \(\displaystyle{ (*)}\) i wychodzi cos takiego
\(\displaystyle{ z=-i \cdot (z+2i)}\) i co teraz wymnożyć i podstawić pod z \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

sdamian · Post autor: **sdamian** » 5 lut 2012, o 22:49

jesli dobrze wyliczyłeś pierwiastki st. trzeciego z \(\displaystyle{ i}\)
to teraz
równanie
\(\displaystyle{ z=-i \cdot (z+2i)}\) jest równaniem liniowym z niewiadomą zespoloną \(\displaystyle{ z}\) o współczynnikach zespolonych - rozwiązuje się je w identyczny sposób jak równanie z niewiadomą rzeczywistą o współczynnikach rzeczywistych (jak nieraz w szkole mówili - "niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą stronę...")

antol · Post autor: **antol** » 5 lut 2012, o 22:55

Juz wiem dzieki wielkie, po prostu pomylilem sie w minusach zal:/ Jeszcze raz dziex