Potęga liczby zespolonej

[dementor]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt 3 +\frac{i}{2} \right) ^{48}}\) jak to obliczyc ?

[MatS]

rozpisz ta liczbe na postac trygonometryczna...i poszukaj wzorow...bo na pewno jakies na to byly wzory...tylko ze juz po prostu nie pamietam...

[marshal]

wzor na potege \(\displaystyle{ n}\)-go stopnia z liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z}\)-liczba zespolona postaci \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2 + y^2}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{kąt}=arg(z)}\)

ten kąt mozesz wyznaczyc ze wzorow:

\(\displaystyle{ \cos (\mbox{kąt})=\frac{x}{|z|}\\
\sin (\mbox{kąt})=\frac{y}{|z|}}\)

\(\displaystyle{ z^n=|z|^n \cdot (\cos (n \cdot \mbox{kąt}) + i\sin (n \cdot \mbox{kąt}))}\)

i wszystko gra! :]