Proszę o rozwiązanie równania tak, aby otrzymać wszystkie możliwe wyniki. Kilku oczywiście można się domyślić, ale chciałbym żeby rozwiązanie tego nie wymagało, tzn żeby na końcu dostać jednoznacznie wszystkie możliwe wyniki.
Jakie 'z' spełniają równanie?
\(\displaystyle{ \overline z = z^{2}}\)
Równanie z liczbą zespoloną
Równanie z liczbą zespoloną
Ostatnio zmieniony 7 lut 2012, o 15:10 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Sprzężenie z to \overline{z} lub \bar{z}.
Powód: Poprawa wiadomości. Sprzężenie z to \overline{z} lub \bar{z}.
-
Parton
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 10 gru 2008, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Można znacznie łatwiej:
\(\displaystyle{ z=0}\) spełnia więc równanie, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \bar{z} = z^2}\) mnożymy stronami przez z i dostajemy:
\(\displaystyle{ |z|^2 = z^3}\)
Czyli \(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2 \Rightarrow |z|=1}\), co daje
\(\displaystyle{ z^3 = 1}\)
\(\displaystyle{ z=0}\) spełnia więc równanie, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ z \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \bar{z} = z^2}\) mnożymy stronami przez z i dostajemy:
\(\displaystyle{ |z|^2 = z^3}\)
Czyli \(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2 \Rightarrow |z|=1}\), co daje
\(\displaystyle{ z^3 = 1}\)
Równanie z liczbą zespoloną
To może ja napiszę jak to robiłem:
\(\displaystyle{ \ \bar{z} = z^{2} \\
x-iy=(x+iy)^{2} \\
x-iy=x^2-y^2+2xyi \\
-y=2xy \\
2x=-1 \\
x= -\frac{1}{2} \\ \\
x=x^2-y^2 \Rightarrow y= \sqrt{\frac{3}{4}} \vee y= - \sqrt{\frac{3}{4}}}\)
Zgodnie z odpowiedzią powinienem dostać 4 wyniki. Dwa już mam, ale w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac12}\) a nie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}.}\) Podejrzewam, że zrobiłem jakiś głupi błąd, bo siedzę od rana. Kolejne odpowiedzi zgodnie ze zbiorkiem to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -1}\) i jak patrzę na to równanie to jest to dość oczywiste, ale jak to rozwiązywać żeby normalnie otrzymać te wyniki? Inaczej łatwo o nich zapomnieć. Dodatkowo jeszcze zastanawiam się dlaczego \(\displaystyle{ 1}\) też nie będzie rozwiązaniem?
\(\displaystyle{ \ \bar{z} = z^{2} \\
x-iy=(x+iy)^{2} \\
x-iy=x^2-y^2+2xyi \\
-y=2xy \\
2x=-1 \\
x= -\frac{1}{2} \\ \\
x=x^2-y^2 \Rightarrow y= \sqrt{\frac{3}{4}} \vee y= - \sqrt{\frac{3}{4}}}\)
Zgodnie z odpowiedzią powinienem dostać 4 wyniki. Dwa już mam, ale w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac12}\) a nie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}.}\) Podejrzewam, że zrobiłem jakiś głupi błąd, bo siedzę od rana. Kolejne odpowiedzi zgodnie ze zbiorkiem to \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ -1}\) i jak patrzę na to równanie to jest to dość oczywiste, ale jak to rozwiązywać żeby normalnie otrzymać te wyniki? Inaczej łatwo o nich zapomnieć. Dodatkowo jeszcze zastanawiam się dlaczego \(\displaystyle{ 1}\) też nie będzie rozwiązaniem?
Ostatnio zmieniony 7 lut 2012, o 15:16 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Parton
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 10 gru 2008, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie z liczbą zespoloną
Tak jak Ci napisałem jest najprościej. Nie ma sensu zawsze bezmyślnie podstawiać \(\displaystyle{ z = x + iy}\). Trzeba wykorzystywać własności liczb zespolonych. U mnie masz 4 rozwiązania: 0 oraz trzy pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki. Łatwo szybko i przyjemnie. Nie upieraj się na żmudne rachunki.
Równanie z liczbą zespoloną
\(\displaystyle{ |z|^2 = z^3}\)
Ok, pomnożyłeś stronami i zgodnie z wzorem z lewej strony dostajemy \(\displaystyle{ |z|^2}\)
\(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2 \Rightarrow |z|=1}\)
Ale skąd ta następna linijka? Wybacz, ale nie rozumiem co zrobiłeś w tym miejscu, mógłbyś wytłumaczyć?-- 5 lut 2012, o 23:04 --skąd jest ta równość?
\(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2}\)
Ok, pomnożyłeś stronami i zgodnie z wzorem z lewej strony dostajemy \(\displaystyle{ |z|^2}\)
\(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2 \Rightarrow |z|=1}\)
Ale skąd ta następna linijka? Wybacz, ale nie rozumiem co zrobiłeś w tym miejscu, mógłbyś wytłumaczyć?-- 5 lut 2012, o 23:04 --skąd jest ta równość?
\(\displaystyle{ |z|^3 = |z|^2}\)