czemu kiedy liczbymy pierwiastek z jakiejś liczby zespolonej np \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z}}\)
to później sprawdzamy dla trzech wartości np, k=0,1,2
a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt[5]{z}}\) to np. dla k=0,1,2,3,4
?
wzór moivre'a
-
szw1710
wzór moivre'a
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z_0}=z\iff z^n=z_0}\)
A zatem wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ z}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) z ustalonej liczby \(\displaystyle{ z_0}\) spełniają równanie
\(\displaystyle{ z^n-z_0=0.}\)
Po lewej stronie mamy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Dowodzi się, że jeśli \(\displaystyle{ z_0\ne 0,}\) to wielomian ten ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wzajemnie różnych pierwiastków. Dane są one właśnie wzorami de Moivre'a. Dlatego wylicza się tyle pierwiastków, ile wynosi ich stopień.
A zatem wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ z}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) z ustalonej liczby \(\displaystyle{ z_0}\) spełniają równanie
\(\displaystyle{ z^n-z_0=0.}\)
Po lewej stronie mamy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Dowodzi się, że jeśli \(\displaystyle{ z_0\ne 0,}\) to wielomian ten ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) wzajemnie różnych pierwiastków. Dane są one właśnie wzorami de Moivre'a. Dlatego wylicza się tyle pierwiastków, ile wynosi ich stopień.