przedstawić w postaci algebraicznej i narysować

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
paula0209
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 wrz 2010, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy

przedstawić w postaci algebraicznej i narysować

Post autor: paula0209 »

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{(-1+i)}^{12}}\) wynik przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

Zastanawiałam się czy mogę skrócić do takiej postaci\(\displaystyle{ (-1+i)^{2}}\) i wtedy liczyć albo ze wzoru skróconego, albo z de Moivre'a? Jeszcze mnie ta postać algebraiczna trochę męczy.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

przedstawić w postaci algebraicznej i narysować

Post autor: pyzol »

Jest jedno ale. Pierwiastek w liczbach zespolonych nie jest jednoznacznie określony.
Będziesz miała więc 6 liczb, a nie jedną. Te 6 rozwiązań układa się bardzo miło, tworzy figurę foremną, w tym przypadku sześciokąt. Więc jeśli policzysz \(\displaystyle{ (-1+i)^2}\) następne rozwiązania otrzymasz obracając ten punkt o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Możesz to uzyskać mnożąc swoje rozwiązanie 5 razy przez:
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}\).
paula0209
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 wrz 2010, o 17:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy

przedstawić w postaci algebraicznej i narysować

Post autor: paula0209 »

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) dlatego że jest 6 stopnia?
Jakby np. był pierwiastek 8 stopnia to trzeba by było "obracać" o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}}\)?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

przedstawić w postaci algebraicznej i narysować

Post autor: pyzol »

Oj oszukałem Cię lekko. Kąt pełny dzielisz na 6 części, więc:
\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}}\)
One są rozmieszczone równomiernie na jednym okręgu (promień jest ten sam). Więc obracasz o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Przepraszam za zmyłkę. Jakby było 8 to \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}}\).
I jeszcze jedno to się tyczy tylko liczenia pierwiastków, (bądź równań typu \(\displaystyle{ z^k=x+iy}\)).
W takim np. równaniu \(\displaystyle{ z^2+z-1=0}\) to nie przechodzi.
ODPOWIEDZ