narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tomsu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lis 2011, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: tomsu »

Witam, mam problem z poradzeniem sobie z taką oto równością zespoloną:
\(\displaystyle{ -2 \overline{z}|z|^2=(-1+3i)z^3}\)

Próbowałem robić topornym sposobem podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi}\) ale to nie ma sensu. Zapewne chodzi tu o jakiś myk, sprytne zauważenie czegoś, ale niestety sobie z tym nie poradziłem. Jedyne co udało mi się dostrzec, że jednym z rozwiązań będzie \(\displaystyle{ z=0}\). Proszę o jasne wskazówki, gdyż bardziej zależy mi na zrozumieniu tego typu zadań niż na samym rozwiązaniu.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: pyzol »

Pomnóż najpierw stronami przez \(\displaystyle{ z}\), zakładając, że jest one różne od 0, gdy jest równe to spełnia równanie.-- 5 lut 2012, o 10:32 --Prawdopodobnie, w zadaniu winno być \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) a nie \(\displaystyle{ 3}\), tak to jest nieciekawe. proponowałbym rozwiązać oba przykłady.
tomsu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lis 2011, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: tomsu »

Masz rację, chodzi o \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
Zrobiłem jak poradziłeś, no i domyślam się, że chcesz abym przeszedł na postać trygonometryczną liczby zespolonej, tak? Doszedłem do czegoś takiego i się zawiesiłem:
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{z})^4= \frac{ \frac{1}{2} }{|z|^4}- \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{|z|^4}i}\)
O ile prawa strona jest już prawie postacią trygonometryczną o tyle psuje to lewa strona... Poproszę o kolejną podpowiedz
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: pyzol »

Może lepiej tak:
\(\displaystyle{ \left(\frac{|z|}{z} \right)^4=...}\)
Ta liczba ma moduł 1. Więc z prawej strony też powinna mieć moduł 1, dlatego \(\displaystyle{ 3}\) nie pasowało, a raczej wyrzucało nam inne możliwe rozwiązania.
Może zrobimy to tak. Jak dobrze wiesz \(\displaystyle{ |z|=r}\). Doprowadź do takiej postaci (odwróć ułamki):
\(\displaystyle{ z^4=|z|^4\frac{2}{1-i\sqrt{3}}}\)
Pozbądź się liczby urojonej z mianownika. Zamień na postać trygonometryczną wyrażenie po prawej stronie. Potem spierwiastkuj.
tomsu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lis 2011, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: tomsu »

a na jakiej podstawie wnioskujesz, że ta liczba ma moduł 1? Ja sam pomyślałem, że moduł 1 ułatwiłby nam życie, ale nie do końca wiedziałem, czy rzeczywiście ma.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: pyzol »

\(\displaystyle{ \left|\frac{z}{|z|} \right|=\frac{|z|}{||z||}=1}\)
Ogólna własność, ale to nie liczba \(\displaystyle{ z}\) ma moduł 1. Tylko liczba \(\displaystyle{ \frac{|z|}{z}}\).
Natomiast \(\displaystyle{ |z|=r}\), więc równanie możesz zapisać w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z^4=r^4\left(\frac{ 2+2i\sqrt{3}}{4}\right)\\
z^4=r^4\left(\frac{ 1+i\sqrt{3}}{2}\right)\\
z^4=r^4\left(\cos{\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}\right)\\
z=r\sqrt[4]{\cos{\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}}}\)

Musisz znaleźć więc wszystkie pierwiastki 4 stopnia z tej liczby. R nie obliczymy jest to parametr. Rozwiązanie, to dwie proste o odpowiednim kącie.
tomsu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lis 2011, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

narysuj na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: tomsu »

Wielkie dzięki! Wszystko już wiem
ODPOWIEDZ