\(\displaystyle{ \mathrm{arg} \; \left( z^{6} \right) = \pi}\)
Przedstaw w postaci graficznej
Proszę o dokładne rozpisanie co powinnam tu robić..bo nie umiem rozwiązywać tego typu zadań, a z tego co znalazłam w książce, nic nie wyciągnęłam.
Nie wiem jak mam to doprowadzić do postaci trygonometrycznej..Zależy mi na dokładnym zrozumieniu schematu rozwiązywania zadań tego typu (zespolona do potęgi).
Przedstaw w postaci graficznej
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Przedstaw w postaci graficznej
Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ z^6=|z|^6(\cos6\varphi+i\sin6\varphi}\)
co oznacza, że
\(\displaystyle{ arg(z^6)=6\varphi}\).
Warunek z zadania daje nam, że
\(\displaystyle{ 6\varphi=\pi+2k\pi}\)
skąd
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}}\)
Zaznaczasz zatem wszystkie liczby zespolone, których argumenty wynoszą odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{9\pi}{6},\frac{11\pi}{6}}\)
(będą to półproste o początku w początku układu nachylone pod takimi właśnie kątami do dodatniej części osi Ox.
Wtedy
\(\displaystyle{ z^6=|z|^6(\cos6\varphi+i\sin6\varphi}\)
co oznacza, że
\(\displaystyle{ arg(z^6)=6\varphi}\).
Warunek z zadania daje nam, że
\(\displaystyle{ 6\varphi=\pi+2k\pi}\)
skąd
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}}\)
Zaznaczasz zatem wszystkie liczby zespolone, których argumenty wynoszą odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{9\pi}{6},\frac{11\pi}{6}}\)
(będą to półproste o początku w początku układu nachylone pod takimi właśnie kątami do dodatniej części osi Ox.
-
paula0209
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 wrz 2010, o 17:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
Przedstaw w postaci graficznej
Czy mógłbyś wyjaśnić dlaczego z cos6φ + isin6φ zostało zamo 6φ?
I skąd się wzięły te liczby zespolone w ostatecznym wyniku? skąd mam wiedzieć ile podstawiać za "k"?
Dziękuję za pomoc i pozdrawiam
I skąd się wzięły te liczby zespolone w ostatecznym wyniku? skąd mam wiedzieć ile podstawiać za "k"?
Dziękuję za pomoc i pozdrawiam
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Przedstaw w postaci graficznej
Masz przecież, że to argument ma być równy \(\displaystyle{ \pi}\), a argumentem liczby \(\displaystyle{ |z|^6(\cos6\varphi+i\sin6\varphi)}\) jest właśnie \(\displaystyle{ 6\varphi}\).
W ostatecznym wyniku \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}}\) nie ma liczb zespolonych, tylko rzeczywiste.
Za \(\displaystyle{ k}\) podstawiasz kolejne liczby \(\displaystyle{ 0,1,2,...}\), do momentu, kiedy argument zacznie się powtarzać (to jest w końcu kąt, jeżeli obrócisz się o jakiś kąt np. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a potem obrócisz się jeszcze o \(\displaystyle{ 2\pi}\) - czyli \(\displaystyle{ 360^\circ}\) to wylądujesz w tym samym miejscu) to kończymy. Zauważ, że następną wartością było by \(\displaystyle{ \frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}}\), czyli taki sam argument jak \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
W ostatecznym wyniku \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}}\) nie ma liczb zespolonych, tylko rzeczywiste.
Za \(\displaystyle{ k}\) podstawiasz kolejne liczby \(\displaystyle{ 0,1,2,...}\), do momentu, kiedy argument zacznie się powtarzać (to jest w końcu kąt, jeżeli obrócisz się o jakiś kąt np. \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\), a potem obrócisz się jeszcze o \(\displaystyle{ 2\pi}\) - czyli \(\displaystyle{ 360^\circ}\) to wylądujesz w tym samym miejscu) to kończymy. Zauważ, że następną wartością było by \(\displaystyle{ \frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}}\), czyli taki sam argument jak \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).