narysowac na plaszczyznie

[golasek1992]

Witam.
Zadanie jest nastepujace:
Narysować na płaszczyznie \(\displaystyle{ Arg \frac{1}{z+1} = \frac{ \pi }{4}}\)

wiem ze \(\displaystyle{ Argz= \frac{ \pi }{4}}\) to pol prosta z poczatku ukladu 45 stopni w I cwiartce.
Natomiast nie wiem w ogole jak ugrysc moje zadanie. Jest ulamek wiec myslalem zeby zastosowac mnozenie przez sprzezenie. Ale co tym osiagne ? w liczniku bede mial liczbe zespolona i w mianowniku bede mial liczbe zespolona. Przyrownam ja do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) i co z tego wyjdzie ? Jak mam to geometrycznie zinterpretowac ?

Sprzeznie: (dobrze je robie ? )

\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}= \frac{1}{z+1}* \frac{\overline{z}+1}{\overline{z}+1}= \frac{\overline{z}+1}{(z+1)(\overline{z}+1)}= \frac{x-iy+1}{(x+iy)(x-iy+1)}}\)

[bedbet]

Niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Mamy

\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{a}{|z|}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{b}{|z|}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)

zatem zachodzi

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}\\
\\
\begin{cases} \sqrt{2}a=\sqrt{a^2+b^2}\\ \sqrt{2}b=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}\\
\\
\begin{cases} 2a^2=a^2+b^2\\ 2b^2=a^2+b^2\end{cases}\\
\\
\begin{cases} a^2-b^2=0\\ b^2-a^2=0\end{cases}\\
\\
\begin{cases} a^2-b^2=0\\ a^2-b^2=0\end{cases}\\
\\
a^2-b^2=0\\
\\
a^2=b^2\\
\\
|a|=|b|}\)

[golasek1992]

hmm. Wolalbym gdybys mi to opisal poniewaz dalej nie rozumiem co tym osiagam i co sie dzieje dokladnie z tym ulamkiem przyrownanym do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}.}\)

Rozumiem ze przyrownales \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{ \pi }{4}}\)
oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{ \pi }{4}}\)

pozniej wymnozyles na skos, podniosles do kwadratu z czego odrazu widac ze zachodzi taka rownosc \(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2}}\)

Niestety nadal nie wiem jak to sie ima do \(\displaystyle{ Arg \frac{1}{z+1} = \frac{ \pi }{4}}\) i co z tym poczac w dalszym ciagu. Prosze troszke dokladniej poniewaz jutro mam kolokwium i chcialbym jak najszybciej sobie utrwalic to w zadaniach.

[bedbet]

...wiem ze \(\displaystyle{ Argz= \frac{ \pi }{4}}\) to pol prosta z poczatku ukladu 45 stopni w I cwiartce...

Napisałem to co napisałem, aby Ci pokazać, że tutaj się mylisz.

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ arg(\frac{z_1}{z_2})=arg z_1 - arg z_2 + 2k \pi}\) dla \(\displaystyle{ z_2 \neq 0, k \in Z}\)

Zatem

\(\displaystyle{ Arg \frac{1}{z+1} = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ arg(1) - arg(z+1) +2k \pi = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ 0-arg(z+1) +2k \pi = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ -arg(z+1)+2k \pi= \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ arg(z+1)-2k \pi= -\frac{ \pi }{4}}\) teraz wiemy, że \(\displaystyle{ k=1}\) żeby po przeniesieniu na prawą stronę mieć wartość z zakresu \(\displaystyle{ <0, 2 \pi>}\)

\(\displaystyle{ arg(z+1)=\frac{7 \pi}{4}}\)

Będzie to półprosta wychodząca z początku układu współrzędnych tworząca kąt \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{4}}\) z dodatnią częścią osi OX przesunięta o 1 jednostkę w lewo

[golasek1992]

pawellogrd - Dzieki, dzieki i jeszcze raz dzieki.