Nierówność na zbiorze liczb zespolonych

[Browning0]

Mam takie zadanko:

1) Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór \(\displaystyle{ A= \left\{z \in \mathbb{C}: \mathfrak{R}(iz^{4}+i)>0 \right\}}\)

Trochę już zakurzyły mi się w pamięci liczby zespolone ;/ Domyślam się że podstawianie za \(\displaystyle{ z=a+bi}\) nie jest najlepszym pomysłem... Mimo to zrobiłem to no i wyszła mi taka nierówność, w której trzeba się bawić masą założeń:
\(\displaystyle{ 4ab^{3}-4a^{3}b-6a^{2}b^{2}>0}\)

Czy moglibyście mnie naprowadzić na sposób rozwiązania?

EDIT: Podobnie mam pytanie z równaniem \(\displaystyle{ \bar{z}=z^{3}}\)
Tutaj na szczęście było łatwiej, bo jednak jest tylko potęga trzeciego stopnia, ale nadal chyba "mało profesjonalnie". To jedyny sposób, czy są inne warianty?

Pozdrawiam i szczerze dziękuję za wszelką pomoc!

[AdamL]

Część rzeczywista tej liczby - jak mniemam o to chodzi
Na poczatku - to 'wolne' i mozemy wyrzucic a liczbe iz^4 zapisac jako

\(\displaystyle{ -\left| z\right| ^{4} \cdot sin(4a)}\) (ze wzoru de Moivre'a)

Teraz widzimy, że modul z musi byc rozny od 0, a wiec dodatni, czyli odrzucamy z=0,
a z kata widzimy, ze ten sinus musi byc ujemny, czyli od Pi do 2Pi. Dalej wnioskuj sam.

EDIT: Co do drugiego zadania: domnoz stronami przez z, przy zalozeniu \(\displaystyle{ z \neq 0}\) i rozpatrz osobno ten przypadek.
I skorzystaj z wlasnosci \(\displaystyle{ \bar{z} \cdot z=\left| z\right| ^{2}}\)

[Browning0]

Hmm, a czy w pierwszym nie powinniśmy stwierdzić że \(\displaystyle{ \sin \alpha < 0 \Leftrightarrow \alpha \in (\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi), k \in \mathbb{Z}}\)?, czyli co do pierwszego:
Jak już wiemy, z pierwszego warunku \(\displaystyle{ \left| z\right|^4>0}\) wynika nam jedynie że \(\displaystyle{ z \neq 0}\).
Teraz drugi warunek:
\(\displaystyle{ \sin(4\varphi)<0 \Leftrightarrow 4\varphi \in \left(\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi \right), k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \varphi \in \left( \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2}\right), k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \varphi \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{3\pi}{4}, \pi\right) \cup \left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)}\)

Czyli wykres będzie wyglądał następująco:
Przy zerze jest kółko, aby podkreślić jego wykluczenie. Powinny być też kółkach na tych dwóch prostych ograniczających zamalowane obszary, ale ich już nie rysowałem.
... res=medium

Dobra, co do drugiego zadania:
\(\displaystyle{ \bar{z}=z^{3} \ / \cdot z \\ \left| z \right|^{2} = z^4 \\ \hbox{nie wiem czy mogę zrobić coś takiego...} \\ \left| \left| z\right|^{2} \right| = \left| z^{4}\right| \\ \left| z\right|^{2}=\left| z\right|^{4} /:\left| z\right|^{2} \\\left| z\right|^{2}=0 \\ z=0}\)

Coś mi tutaj śmierdzi ;/


Pozwolę sobie dorzucić kolejne dwa przykłady z tej samej "serii". Mianowicie:

Zadanie 3

Znaleźć i naszkicować na płaszczyźnie zespolonej \(\displaystyle{ \left \{ z \in \mathbb{C}: \Re(z)^{3} \le 0 \right \}}\)

I zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ z^{3}=\left| z \right| (\cos{(3\varphi)} + i\sin{(3\varphi)}) \\ \\ \Re(z^{3})=\left| z \right|\cos{(3\varphi)} \\ \\ \left| z \right| \le 0 \wedge \Re(z^{3}) \le 0 \Rightarrow \cos{(3\varphi)} \ge 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 3\varphi \in \left[ 2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi\right] \cup \left[ \frac{3\pi}{2}+2k\pi, 2\pi+2k\pi \right], k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \varphi \in \left[ \frac{2k\pi}{3}, \frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3} \right] \cup \left[ \frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}+ \frac{2k\pi}{3} \right], k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{6} \right] \cup \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \right] \cup \left[ \frac{7 \pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right] \cup \left[ \frac{11\pi}{6}, 2\pi\right]}\)

Rysunek:
... res=medium


Zadanie 4

Na płaszczyźnie zespolonej narysować \(\displaystyle{ \left \{ z \in \mathbb{C}: \left | \frac{z+4-3i}{z+2+i} \right | \ge 1 \right \}}\)

I zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{z+4-3i}{z+2+i} \right | \ge 1 \\ \\ \left| z+4-3i\right| \ge \left| z+2+i\right|}\)
I już na podstawie tego można narysować rysunek. Bo to będą wszystkie punkty, które leżą bliżej punktu \(\displaystyle{ (2,i)}\) niż punktu \(\displaystyle{ (4,-3i)}\), czyli:
http://desmond.imageshack.us/Himg829/sc ... res=medium

Oczywiście sama linia też wchodzi w skład zamalowanego obszaru

Pozdrawiam!