Witam, mógłby ktoś podpowiedzieć jak zabrać się z taki dowód :
\(\displaystyle{ \overline {(\frac {z_1} {z_2})} = {\frac {\overline{z_1}} {\overline{{z_2}}}}\)
Zakładam sobie, że \(\displaystyle{ z_1 = a + bi}\), \(\displaystyle{ z_2 = c + di}\)
Czy przydatne tu będzie twierdzenie, że \(\displaystyle{ z * \overline{z} = |z|^2}\) ?
Dowód (sprzężenie)
-
gabi123456
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 29 sty 2012, o 19:38
- Płeć: Kobieta
- Pomógł: 6 razy
Dowód (sprzężenie)
\(\displaystyle{ z_{1}=a+bi}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=c+di}\)
\(\displaystyle{ L=\overline{ (\frac{z_{1}}{z_{2}}) }=\overline{ (\frac{a+bi}{c+di}) }=\overline{ \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} }=\overline{ (\frac{ac-abi+cbi+bd}{c^{2}+d^{2}} )}=\overline{ \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+ \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}}i }= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} - \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}} i}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}= \frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}= \frac{a-bi}{c-di}* \frac{c+di}{c+di}= \frac{ac+adi-cbi+bd}{c^{2}+d^{2}}= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+ \frac{ad-cb}{c^{2}+d^{2}}i= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}- \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}}i}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=c+di}\)
\(\displaystyle{ L=\overline{ (\frac{z_{1}}{z_{2}}) }=\overline{ (\frac{a+bi}{c+di}) }=\overline{ \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} }=\overline{ (\frac{ac-abi+cbi+bd}{c^{2}+d^{2}} )}=\overline{ \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+ \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}}i }= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} - \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}} i}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}= \frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}= \frac{a-bi}{c-di}* \frac{c+di}{c+di}= \frac{ac+adi-cbi+bd}{c^{2}+d^{2}}= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+ \frac{ad-cb}{c^{2}+d^{2}}i= \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}- \frac{cb-ad}{c^{2}+d^{2}}i}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)