Wyznacz wszystkie liczby zespolone spełniające dane równanie

[Zaboleq]

Ok,
Dzisiaj po ciężkim dniu pracy czarna dziura (znowu...).

Treść zadania taka jak w temacie(proszę o powagę...)

A przykłady 2 są takie:

1) \(\displaystyle{ z^{2} + 4i = 0}\)
I wiem, że to jest:
\(\displaystyle{ z=\pm \sqrt{2}(i-1)}\)
ale jak to dokładnie policzyć tzn nie na metodę "o, widzę wynik od razu". Bo próbowałem tak jak w definicji czyli:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
więc:
\(\displaystyle{ (x+yi)^2=-4i}\)
ale niestety albo coś źlę robię ale sam już nie wiem (przecież części rzeczywiste i zespolone muszę być równe tak?).

Drugi przykład jest taki:

\(\displaystyle{ Re z + 3 Im z = 2}\)
Przerobiłem to na \(\displaystyle{ x + 3y = 2}\) ale nie mogę uzyskać odpowiedzi jaką jest : \(\displaystyle{ 2+3y+yi}\).

Proszę szanownych forumowiczów o pomoc.

[makan]

1)
\(\displaystyle{ (x+yi)^2=-4i\\
x^2+2xyi-y^2=-4i\\
\begin{cases} x^2-y^2=0\\ 2xy=-4 \Rightarrow y=-\frac{2}{x}\end{cases} \\
\begin{cases} x^2-\frac{4}{x^2}=0\\ y=-\frac{2}{x}\end{cases} \\
\begin{cases} x^4=4\\ y=-\frac{2}{x}\end{cases} \\
\begin{cases} x=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^2}=\sqrt{2}\\ y=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2} \end{cases} \vee \begin{cases} x=-\sqrt{2}\\ y=\sqrt{2} \end{cases} \\
z_1=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\\
z_2=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\\}\)
2)
Sprawdźmy czy ta odpowiedź jest dobra:
\(\displaystyle{ Re(2+3y+yi)=2+3y\\
Im(2+3y+yi) = y\\
Re(2+3y+yi)+3Im(2+3y+yi)=2+3y+3y =2+ 6y}\)
Rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ z=2-3y+iy}\).

[czarny91]

A jak wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające to równanie:

\(\displaystyle{ |2z-3i|=1}\) ?

Z góry dzięki za pomoc. Bo tych równań zapisanych powyżej w ogóle nie rozumiem skąd i dlaczego takie. Proszę o wyjaśnienie tego na tym przykładzie.

[Zaboleq]

No ale pytanie skąd wzięła się ta odpowiedź w drugim równaniu?

Jeśli mam równanie:
\(\displaystyle{ Re z + 3 Im z = 2}\) to jak oni uzyskali takie "z" jak poniżej?
\(\displaystyle{ z=2-3y+iy}\)

Może mi to ktoś rozpisać/wyjaśnić? W pierwszym równaniu miałem błąd rachunkowy ale tutaj już mi czegoś brakuje... Mógłbym prosić o rozpisanie tego równania?

[makan]

\(\displaystyle{ z=x+iy\;\;\; x \in R\;\; y\in R\\
Re(z) =x\\
Im(z)=y \Rightarrow 3Im(z)=3y\\
x+3y=2 \Rightarrow x=2-3y\\
z= 2-3y+iy\;\; y \in R}\)