Rozwiąż równanie

[fukoshi]

Z racji, że to mój pierwszy post na tym forum, chciałbym wszystkich powitać i pozdrowić, tak więc, Witam Was i pozdrawiam
A teraz do rzeczy:
Czy liczba \(\displaystyle{ z= \frac{(1+i)^{16}}{(i- \sqrt{3})^{6} }}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^{2}=-16i}\) ?

Jak się za to zabrać? Czy mam podnieść tą liczbę \(\displaystyle{ z}\) do kwadratu i przyrównać do \(\displaystyle{ -16i}\) ?

Dziękuję za wszelką pomoc.

[pawellogrd]

Witaj na forum. Dokładnie tak - podnieś liczbę \(\displaystyle{ z}\) do kwadratu i przyrównaj ją do tego \(\displaystyle{ -16i}\)

[fukoshi]

Ok, czyli sprowadza się to do rozwiązania równania \(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{32}}{(i- \sqrt{3})^{12} }= -16i}\)
Żeby potęgować muszę zamienić te liczby zespolone z licznika i mianownika na postać trygonometryczną?
Z licznikiem jakoś poszło \(\displaystyle{ z= \sqrt{2} \left( \cos \frac{ \pi }{4} + i\sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)
ale z mianownikiem jest problem.

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ z=(i-\sqrt{3})^{12} = ((i-\sqrt{3})^2)^6=(i^2-2 \sqrt{3} i + 3)^6 = (2 - 2\sqrt{3}i)^6 = ((2 - 2\sqrt{3}i)^2)^3=(4- 8 \sqrt{3} i + 12 i^2)^3 = (-8-8\sqrt{3} i)^3 = 4096}\)

Ostatnie przejście było ze wzoru skróconego mnożenia (\(\displaystyle{ (a-b)^3}\)) tylko już nie rozpisywałem

[fukoshi]

Olaboga, tylko nie strasz, że z licznikiem też muszę tak robić? A nie można spróbować tego ze wzoru De Moivra (nie wiem czy błędu nie ma w pisowni)? Bo potęga 32 to trochę dużo...

[pawellogrd]

Oczywiście możesz licznik zamienić, tak jak zamieniłeś, na postać trygonometryczną i tym właśnie wzorem obliczyć Ja podałem tylko jak mianownik najprościej (wg. mnie) zrobić.