( 1+i )^10 ?

frytunia · Post autor: **frytunia** » 9 lut 2007, o 12:31

Mam obliczyć : ( 1+ i)^10; wiem, że wynik jest 32i, ale skąd się to wzięło ?!?

Czy ktoś mógłby mi pomóc w rozw. tego przykładu ?

basia · Post autor: **basia** » 9 lut 2007, o 12:55

z=a+bi
a=1
b=1
obliczasz moduł z i wstawiasz do wzoru Moivre'a. Kąty wychodzą pi/4, mnożysz je przez 10 a |z| podnosisz do potęgi 10

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 9 lut 2007, o 13:06

\(\displaystyle{ (1+i)^{10} = [ (1+i)^2 ]^5 =(2i)^5=32i}\)

Saxo · Post autor: **Saxo** » 13 lut 2007, o 15:53

no wlasnie ja mam bardzo podobne zadanie i wiem ze wzor Moivre'a trzeba zastosowac it. jesdna mam problem z obliczniem kata bo z pierwiastkow u mnie sprawa sie miesza :/
mianowicie (-√3+i)^60=
obliczam modul i pozniej sin i cos "fi" ...ale wynik mi jakis smieszny wychodzi i sie nie zgadza :/
co mam zrobic?:)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2007, o 16:57

Masz takie równości:
\(\displaystyle{ z=-\sqrt{3}+i=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})}\)
I widzimy teraz ze kąt jest z drugiej ćwiartki wiec szukamy takiego\(\displaystyle{ \varphi}\) które przyjmuje dane wartości:\(\displaystyle{ sin\varphi=\frac{1}{2}\quad cos\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Łatwo stwierdzić, że \(\displaystyle{ \varphi=\frac{5}{6}\pi}\)
Mamy dalej równości:
\(\displaystyle{ 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=2(cos\frac{5}{6}\pi+isin\frac{5}{6}\pi)}\)
Ze wzoru de Moivre'a mamy:
\(\displaystyle{ z^{60}=2^{60}(cos\frac{5\cdot 60}{6}\pi+isin\frac{5\cdot 60}{6}\pi)=2^{60}(cos50pi+sin50\pi)=\\
2^{60}(cos0^0+isin0^0)=2^{60}(1+0)=2^{60}=11\ 529\ 221\ 504\ 606\ 846\ 976}\)

Saxo · Post autor: **Saxo** » 13 lut 2007, o 17:04

dziekuje Ci dobry czlowieku

Shadowboxer · Post autor: **Shadowboxer** » 13 lut 2007, o 19:00

a skąd wiemy, że φ=5/6 ? i w sumie dlaczego 50pi to 0 stopni?? wybaczcie te pytania, ale mam gigantyczne zaległości

Saxo · Post autor: **Saxo** » 13 lut 2007, o 20:11

"fi"jest argumentem liczby zespolonej i oblicza sie go z wzoru

: AU; 297815e01696262eb6daff60c7465149.png (1.83 KiB) Przejrzano 619 razy

co do tego dlaczego 50pi = 0 to musze powiedziec ze sam sie zastanawialem :/

Undre · Post autor: **Undre** » 13 lut 2007, o 21:24

Shadowboxer pisze:dlaczego 50pi to 0 stopni??

Nie tyle 50pi daje 0 stopni, co cosinus obu kątów wynosi tyle samo
Dorwij stary zepsuty zegarek w domu i zakręć wskazówką na tarczy 25 razy pełen obrót, to poczujesz to empirycznie