Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Witam wszystkich,
W sumie to równanie chyba rozwiązałem ale nie jestem pewien czy dobrze - dlatego proszę o pomoc. Być może (zapewne) istnieje kilka sposobów na jego rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z-1)^3}\)
I teraz ja postapiłem tak, że rozpisałem to na:
\(\displaystyle{ (z-1)(z^2-2z+1)=(z+1)(z^2+2z+1)}\)
I wyszło mi, że to równanie ma 2 pierwiastki podwójne: \(\displaystyle{ z=-1}\) i \(\displaystyle{ z=1}\)
Jeśli napisałem jakieś herezję to proszę o wybaczenie i naprostowanie. Niestety nie mam do tego odpowiedzi i rozwiązałem po omacku:F.
Była jeszcze jakaś metoda, że za \(\displaystyle{ z}\) podstawiało się \(\displaystyle{ x+yi}\) i potem przyrównywało się części rzeczywiste do rzeczywistych a zespolone do zespolonych (po przeciwnych stronach równania bodajże - jakoś tak to szło),
W sumie to równanie chyba rozwiązałem ale nie jestem pewien czy dobrze - dlatego proszę o pomoc. Być może (zapewne) istnieje kilka sposobów na jego rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z-1)^3}\)
I teraz ja postapiłem tak, że rozpisałem to na:
\(\displaystyle{ (z-1)(z^2-2z+1)=(z+1)(z^2+2z+1)}\)
I wyszło mi, że to równanie ma 2 pierwiastki podwójne: \(\displaystyle{ z=-1}\) i \(\displaystyle{ z=1}\)
Jeśli napisałem jakieś herezję to proszę o wybaczenie i naprostowanie. Niestety nie mam do tego odpowiedzi i rozwiązałem po omacku:F.
Była jeszcze jakaś metoda, że za \(\displaystyle{ z}\) podstawiało się \(\displaystyle{ x+yi}\) i potem przyrównywało się części rzeczywiste do rzeczywistych a zespolone do zespolonych (po przeciwnych stronach równania bodajże - jakoś tak to szło),
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Źle. Podstaw swoje wyniki do wyjściowego równania i sprawdź się zgadza.
Tutaj od razu rozpisać nawiasy i poredukować wyrazy podobne.
Tutaj od razu rozpisać nawiasy i poredukować wyrazy podobne.
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Hmm może coś źle napisałem (nie ta kolejność) ale:
dla \(\displaystyle{ (z+1)^3}\) wyszło mi, że \(\displaystyle{ z=-1}\) a dla \(\displaystyle{ (z-1)^3}\) wyszło, że \(\displaystyle{ z=1}\) po rozpisaniu tego
\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z+1)(z^2+2z+1)\\
(z-1)^3=(z-1)(z^2-2z+1)}\)
Więc lewa i prawa strona wtedy się zgadzają bo \(\displaystyle{ 0=0}\) ale to dość dziwne:p i nie spodziewałem się takiego wyniku. Nadal to mogą być herezje...
dla \(\displaystyle{ (z+1)^3}\) wyszło mi, że \(\displaystyle{ z=-1}\) a dla \(\displaystyle{ (z-1)^3}\) wyszło, że \(\displaystyle{ z=1}\) po rozpisaniu tego
\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z+1)(z^2+2z+1)\\
(z-1)^3=(z-1)(z^2-2z+1)}\)
Więc lewa i prawa strona wtedy się zgadzają bo \(\displaystyle{ 0=0}\) ale to dość dziwne:p i nie spodziewałem się takiego wyniku. Nadal to mogą być herezje...
Ostatnio zmieniony 29 sty 2012, o 19:28 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Fajnie. To teraz pokaże Ci co zrobiłeś na innym przykładzie.
Mamy sobie równanie \(\displaystyle{ 2x+2=x-1}\)
I Ty robisz tak:
\(\displaystyle{ 2x+2=0}\)
To z tego \(\displaystyle{ x=-1}\)
I teraz druga strona \(\displaystyle{ x-1=0}\), a więc \(\displaystyle{ x=1}\)
i mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x\in\{-1,1\}}\)
Dobrze, nie ?
Mamy sobie równanie \(\displaystyle{ 2x+2=x-1}\)
I Ty robisz tak:
\(\displaystyle{ 2x+2=0}\)
To z tego \(\displaystyle{ x=-1}\)
I teraz druga strona \(\displaystyle{ x-1=0}\), a więc \(\displaystyle{ x=1}\)
i mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x\in\{-1,1\}}\)
Dobrze, nie ?
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Uhmm a możesz pomóc jakoś :F. Widzę już gdzie robię bubel ale nadal czegoś nie kapuje najwidoczniej. Tzn nadal nie wiem jak to równanie rozwiązać bo chyba czegoś nie załapałem. Może ktoś pomóc?
Poszedłem trochę inną drogą i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)
No i tutaj delta jest ujemna ( o ile czegoś nie spaprałem):
\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{12}i}\)
Kolejne herezje czy jestem na dobrym tropie?
Poszedłem trochę inną drogą i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)
No i tutaj delta jest ujemna ( o ile czegoś nie spaprałem):
\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{12}i}\)
Kolejne herezje czy jestem na dobrym tropie?
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Początek Ok.
Niepotrzebnie liczysz deltę ( ale też tak można ).
Równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ z^2=- \frac{1}{3}}\)
A to już powinno być proste do rozwiązania.
Niepotrzebnie liczysz deltę ( ale też tak można ).
Równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ z^2=- \frac{1}{3}}\)
A to już powinno być proste do rozwiązania.
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
No tak tak niepotrzebnie liczyłem ale w sumie sprowadza się to do tego samego chociaż...
Wynikało by z tego, że \(\displaystyle{ z=\sqrt\frac{1}{3}i}\)a to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac\sqrt{3}{3}i}\)? Trójka miała być w liczniku ale nie wiedziałem jak to zrobić z ułamkiem:P.
Wynikało by z tego, że \(\displaystyle{ z=\sqrt\frac{1}{3}i}\)a to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac\sqrt{3}{3}i}\)? Trójka miała być w liczniku ale nie wiedziałem jak to zrobić z ułamkiem:P.
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Rozwiąż równanie - liczby zespolone
Owszem to jest to samo: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{3}}i = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}i=\frac{1}{\sqrt{3}}i=\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}i=\frac{\sqrt{3}}{3}i}\)
Poza tym:
\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ 3z^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ z^2=-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{3}}i \vee z=-\frac{1}{\sqrt{3}}i}\)
Czyli dobry pierwiastek podałeś choć tylko jeden podałeś.
Poza tym:
\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ 3z^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ z^2=-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{3}}i \vee z=-\frac{1}{\sqrt{3}}i}\)
Czyli dobry pierwiastek podałeś choć tylko jeden podałeś.