Rozwiąż równanie - liczby zespolone

[Zaboleq]

Witam wszystkich,

W sumie to równanie chyba rozwiązałem ale nie jestem pewien czy dobrze - dlatego proszę o pomoc. Być może (zapewne) istnieje kilka sposobów na jego rozwiązanie:

\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z-1)^3}\)

I teraz ja postapiłem tak, że rozpisałem to na:

\(\displaystyle{ (z-1)(z^2-2z+1)=(z+1)(z^2+2z+1)}\)

I wyszło mi, że to równanie ma 2 pierwiastki podwójne: \(\displaystyle{ z=-1}\) i \(\displaystyle{ z=1}\)
Jeśli napisałem jakieś herezję to proszę o wybaczenie i naprostowanie. Niestety nie mam do tego odpowiedzi i rozwiązałem po omacku:F.

Była jeszcze jakaś metoda, że za \(\displaystyle{ z}\) podstawiało się \(\displaystyle{ x+yi}\) i potem przyrównywało się części rzeczywiste do rzeczywistych a zespolone do zespolonych (po przeciwnych stronach równania bodajże - jakoś tak to szło),

[ares41]

Źle. Podstaw swoje wyniki do wyjściowego równania i sprawdź się zgadza.
Tutaj od razu rozpisać nawiasy i poredukować wyrazy podobne.

[Zaboleq]

Hmm może coś źle napisałem (nie ta kolejność) ale:

dla \(\displaystyle{ (z+1)^3}\) wyszło mi, że \(\displaystyle{ z=-1}\) a dla \(\displaystyle{ (z-1)^3}\) wyszło, że \(\displaystyle{ z=1}\) po rozpisaniu tego

\(\displaystyle{ (z+1)^3=(z+1)(z^2+2z+1)\\
(z-1)^3=(z-1)(z^2-2z+1)}\)


Więc lewa i prawa strona wtedy się zgadzają bo \(\displaystyle{ 0=0}\) ale to dość dziwne:p i nie spodziewałem się takiego wyniku. Nadal to mogą być herezje...

[ares41]

Fajnie. To teraz pokaże Ci co zrobiłeś na innym przykładzie.
Mamy sobie równanie \(\displaystyle{ 2x+2=x-1}\)
I Ty robisz tak:
\(\displaystyle{ 2x+2=0}\)
To z tego \(\displaystyle{ x=-1}\)
I teraz druga strona \(\displaystyle{ x-1=0}\), a więc \(\displaystyle{ x=1}\)
i mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x\in\{-1,1\}}\)
Dobrze, nie ?

[Zaboleq]

Uhmm a możesz pomóc jakoś :F. Widzę już gdzie robię bubel ale nadal czegoś nie kapuje najwidoczniej. Tzn nadal nie wiem jak to równanie rozwiązać bo chyba czegoś nie załapałem. Może ktoś pomóc?

Poszedłem trochę inną drogą i wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)

No i tutaj delta jest ujemna ( o ile czegoś nie spaprałem):
\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{12}i}\)

Kolejne herezje czy jestem na dobrym tropie?

[ares41]

Początek Ok.
Niepotrzebnie liczysz deltę ( ale też tak można ).
Równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ z^2=- \frac{1}{3}}\)
A to już powinno być proste do rozwiązania.

[Zaboleq]

No tak tak niepotrzebnie liczyłem ale w sumie sprowadza się to do tego samego chociaż...

Wynikało by z tego, że \(\displaystyle{ z=\sqrt\frac{1}{3}i}\)a to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac\sqrt{3}{3}i}\)? Trójka miała być w liczniku ale nie wiedziałem jak to zrobić z ułamkiem:P.

[pawellogrd]

Owszem to jest to samo: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{3}}i = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}i=\frac{1}{\sqrt{3}}i=\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}i=\frac{\sqrt{3}}{3}i}\)

Poza tym:

\(\displaystyle{ -2(3z^2+1)=0}\)

\(\displaystyle{ 3z^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ z^2=-\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{1}{\sqrt{3}}i \vee z=-\frac{1}{\sqrt{3}}i}\)

Czyli dobry pierwiastek podałeś choć tylko jeden podałeś.