Znaleźć wszystkie pierwiastki równań.

[croire]

a) \(\displaystyle{ z^{4}-1=0}\)
b) \(\displaystyle{ 2z^{2}+2\left(-1- i\sqrt{3} \right) z + \frac{2+i2 \sqrt{3}}{1-i \sqrt{3}}=0}\)
c) \(\displaystyle{ z\left| z\right|= 2z}\) <= sprzężone z

Proszę o pomoc.

[sdamian]

1) korzystasz ze wzoru na różnicę kwadratów albo możesz policzyć pierwiastki czwartego stopnia z jedynki,

2) jest to równanie kwadratowe, więc liczysz deltę, pierwiastek z delty - itd...

[croire]

Mam prośbę. Jak wyliczyć te pierwiastki czwartego stopnia z jedynki?
Może mógłby mi ktoś w tym pomóc, bo nie bardzo wiem.

[Dasio11]

Za pomocą wzoru de Moivre'a. Korzystasz z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ z=r \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\) to

\(\displaystyle{ z^4 = 1 \Leftrightarrow r^4 \left( \cos 4 \varphi + \mathrm i \sin 4 \varphi \right) = \cos 0 + \mathrm i \sin 0.}\)