Zespolony ciąg geometryczny

[Tomaszw]

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} +\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx}\)
Zrobiłem podobne zadanie,tylko że tam pierwszym wyrazem było 1. A tutaj nie bardzo wiem jak się za to zabrać bo ten pierwszy wyraz nie współgra za bardzo z resztą. Próbowałem policzyć Realis z \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz z reszty jako ciągu geometrycznego ale wynik mi wychodził inny niż w odpowiedziach,chyba że gdzieś się pomyliłem w liczeniu.

[Qń]

Wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} +\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx = -\frac 12 + \left( 1 +\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx\right)}\)
i wspomnianej metody użyć do obliczenia wyrażenia w nawiasie.

Q.

[bartek118]

No to jeśli umiesz policzyć z 1 na początku to zapisz to tak:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} + \left( 1 +\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx\right)}\)

[Tomaszw]

Wynik dla ciągu geom z 1 jako wyraz początkowy wynosi :
\(\displaystyle{ \frac{sin \frac{(n+1)x}{2} }{sin \frac{x}{2} }cos \frac{nx}{2}}\)
czyli od wyniku odejmuje \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i wynik powinien się zgadzać,prawda ?
Natomiast odpowiedź jest taka :
\(\displaystyle{ \frac{sin \frac{(2n+1)x}{2} }{2sin \frac{x}{2} }}\) Może da się to jakoś przekształcić i to jest to samo,ale nie wiem jak.

[norwimaj]

Najpierw zapisz, jakiej tożsamości trygonometrycznej potrzebujesz, żeby zaszła równość. Potem udowodnienie jej nie powinno być trudne.-- 29 sty 2012, o 13:23 --Być może ten wynik łatwiej jest uzyskać przekształcając

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} +\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx=\\\\=\frac12(\cos(-nx)+\cos((-n+1)x)+\ldots+\cos nx)}\).

[Tomaszw]

Nie ma tam tożsamości,którą mam otrzymać - po prostu miałem obliczyć to wyrażenie przy pomocy wzoru na sumę ciągu geometrycznego. Udało mi się to zrobić i Twój zapis pomógł mi w dojściu do sedna sprawy bo skorzystałem z parzystości cosx i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(1+2\cos 2x+2\cos 3x+...+2\cos nx}\) i wyrażenie w nawiasie rozwiązałem za pomocą sumy Realis dwóch ciągów geometrycznych : \(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x+...+\cos nx}\) oraz \(\displaystyle{ 1+\cos x+\cos 2x+...+\cos nx}\)