Podaj postać trygonometryczna liczby:
\(\displaystyle{ z=3+i \\
r= \sqrt{3^2+ 1^2}= \sqrt{10} \\
\cos x= \frac{3}{10} \\ \\
\arctan x = \frac{1}{3} \\ \\
z= \sqrt{10}\left( \cos \arctan \frac{1}{3} + i \sin \arctan \frac{1}{3} \right)}\)
To jest poprawne rozwiązane zadanie, ale niestety nie rozumiem skąd bierzemy \(\displaystyle{ \arctan}\). Dlaczego nie \(\displaystyle{ \arccot}\)?
Proszę o pomoc! Będę bardzo wdzięczna, gdyby ktoś wyjaśnił mi to zadanie.
Z góry dziękuje!
Podaj postać trygonometryczna liczby....
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Podaj postać trygonometryczna liczby....
Powinno być \(\displaystyle{ \cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}}\), a także \(\displaystyle{ \sin x=\frac{1}{\sqrt{10}}}\), więc \(\displaystyle{ \tg x=\frac{1}{3}}\) i tym samym \(\displaystyle{ x=\arctan\frac{1}{3}}\).
Mamy natomiast \(\displaystyle{ \cot x=3}\), więc \(\displaystyle{ x=\arccot 3}\).
Mamy natomiast \(\displaystyle{ \cot x=3}\), więc \(\displaystyle{ x=\arccot 3}\).
-
croire
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 13 sty 2012, o 13:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 4 razy
Podaj postać trygonometryczna liczby....
Dziękuję. Mam jeszcze pytanie. Jak odnosi się \(\displaystyle{ \tg x= \frac{1}{3}}\) do tego ,że \(\displaystyle{ x=\arctan \frac{1}{3}}\).
Nie wiem czy dobrze ktoś mnie zrozumie o co mi chodzi.
Jak to się zamienia (może wizualnie?) \(\displaystyle{ \tg x= \frac{1}{3}}\) na \(\displaystyle{ x=\arctan \frac{1}{3}}\).
Nie bardzo wiem o co chodzi w funkcji \(\displaystyle{ \arctan}\), dlaczego \(\displaystyle{ x= \arctan\frac{1}{3}}\)?
Chciałabym nie tylko wiedzieć jak to zadanie wygląda ale dokładnie je zrozumieć.
Jeszcze raz dziękuję za pomoc.
Nie wiem czy dobrze ktoś mnie zrozumie o co mi chodzi.
Jak to się zamienia (może wizualnie?) \(\displaystyle{ \tg x= \frac{1}{3}}\) na \(\displaystyle{ x=\arctan \frac{1}{3}}\).
Nie bardzo wiem o co chodzi w funkcji \(\displaystyle{ \arctan}\), dlaczego \(\displaystyle{ x= \arctan\frac{1}{3}}\)?
Chciałabym nie tylko wiedzieć jak to zadanie wygląda ale dokładnie je zrozumieć.
Jeszcze raz dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2012, o 09:23 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Podaj postać trygonometryczna liczby....
\(\displaystyle{ \arctan}\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ \tg,}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right).}\) To oznacza, że z definicji
\(\displaystyle{ \arctan y =x}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ y = \tg x.}\)
Stąd wynika, że rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \tg x = y}\)
leżącym w pierwszej ćwiartce jest \(\displaystyle{ x=\arctan y.}\)
Pierwsza ćwiartka wzięła się stąd, że \(\displaystyle{ 3+\mathrm i}\) ma obie 'współrzędne' dodatnie, więc argument tej liczby leży na pewno w pierwszej ćwiartce.
\(\displaystyle{ \arctan y =x}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ y = \tg x.}\)
Stąd wynika, że rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \tg x = y}\)
leżącym w pierwszej ćwiartce jest \(\displaystyle{ x=\arctan y.}\)
Pierwsza ćwiartka wzięła się stąd, że \(\displaystyle{ 3+\mathrm i}\) ma obie 'współrzędne' dodatnie, więc argument tej liczby leży na pewno w pierwszej ćwiartce.