Problem z rozwiązaniem działania na liczbach zespolonych

[Terrius]

Witam mam takie zadanie : Stosując postać trygonometryczną wykonać działania:

\(\displaystyle{ a=(1+i) \cdot (1-i \sqrt{3} )}\)
____________________________________

\(\displaystyle{ z_{1} =1+i ; \left| z_{1} \right| = \sqrt{ 1^{2}+ 1^{2} = \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt{2} \cdot \left( \cos \frac{ \pi }{4} +i\sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)

Teraz obliczam \(\displaystyle{ z_{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{2} =1-i \sqrt{3} ; \left| z_{2} \right| = \sqrt{ 1^{2}+ (- \sqrt{3}) ^{2} } = \sqrt{4}=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2 }}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = 2 \cdot \left( \cos \left( 2 \pi - \frac{ \pi }{3} \right) + i\sin \left( 2 \pi - \frac{ \pi }{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= 2 \left( \cos \frac{5 \pi }{3} +i\sin \frac{5 \pi }{3} \right)}\)
_____________________________

\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2}= 2 \sqrt{2} \cdot \left( \cos \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{5 \pi }{3} \right) +i\sin \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{5 \pi }{3} \right) \right)}\)

Wynik:
\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2}= 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{23 \pi }{12} + i\sin \frac{23 \pi }{12} \right)}\)

I teraz mam to przedstawić w postaci algebraicznej
w odpowiedziach jest:

\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2}= 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi }{12} - i\sin \frac{\pi }{12} \right)}\)

- Nie wiem co stało się z liczbą \(\displaystyle{ 23}\)

- Czemu znak zmienił się na "-"

- Czy rozwiązując podobne przykłady dzieje się tak samo że zmieniamy znak na "-" i usuwamy całkowicie liczbę z licznika

Wynik końcowy:

\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2} = 2 \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} - \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \right) = 1+ \sqrt{3} +(1- \sqrt{3} )i}\)

-Jak zamienia się postać trygonometryczną na algebraiczną

[aalmond]

- Nie wiem co stało się z liczbą 23

- Czemu znak zmienił się na "-"

\(\displaystyle{ \cos \left ( 2 \pi - \alpha) = \cos ( - \alpha) = \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sin \left ( 2 \pi - \alpha) = \sin ( - \alpha) = - \sin \alpha}\)

[Terrius]

A co zrobić w wypadku gdy w równaniu radiany są ujemne?


\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \left( \cos\left( - \frac{ \pi }{4}\right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)

[yazpid]

Funkcje sinus i cosinus są okresowe co \(\displaystyle{ 2\pi}\).