Równanie liczb zespolonych

[kaber]

\(\displaystyle{ z^{2}-(2+i)z-1+7i=0}\)

Pomóżcie proszę. Wychodzą jakieś kosmosy... przyrównuję cześci rzeczywiste i urojone liczb po obu stronach równości i dalej włącza się hamulec.

[Tristan]

Wpierw liczymy deltę: \(\displaystyle{ \Delta=(2+i)^2 - 4(-1+7i)=7-24i}\). Ponieważ chcemy obliczyć pierwiastek z delty, zakładamy, że \(\displaystyle{ 7-24i}\) to kwadrat pewnej liczby zespolonej. Mamy więc \(\displaystyle{ 7-24i=(a+bi)^2=a^2-b^2 +2abi}\), czyli rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ 7=a^2 -b^2=-24=2ab}\). Mamy \(\displaystyle{ b=-\frac{12}{a}}\), czyli \(\displaystyle{ 7=a^2- \frac{144}{a^2}}\). Przemnażając przez \(\displaystyle{ a^2}\) dostajemy równanie dwukwadratowe, którego dodatnim rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a^2=16}\). Mamy więc \(\displaystyle{ (a=4 b=-3) (a=-4 b=3)}\). Otrzymaliśmy więc, że \(\displaystyle{ 7-24i=(4-3i)^2=(-4+3i)^2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 4-3i=-(-4 +3i)}\), wystarczy więc, że weźmiemy jedno rozwiązanie, np. \(\displaystyle{ 4-3i}\). Liczymy więc pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{2+i-4+3i}{2}=1+2i ; z_{2}= \frac{2+i+4-3i}{2}=3-i}\)