Różniczkowianie Liczb Zespolonych

[Wujas11]

Witam, mam następujący problem:
Udowodnić w dziedzinie liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ (\cos z)^\prime=-\sin z}\)

[Chromosom]

skorzystaj z definicji pochodnej funkcji zespolonej

[Wujas11]

Robie to tak że rozkładam fukncje ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y}\) gdzie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Sinus z tego podobnego wzoru:
\(\displaystyle{ \sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y}\)
definicja pochodnej zespolonej to:
\(\displaystyle{ z^\prime\left(t\right)=x^\prime \left(t\right)+iy^\prime \left(t\right)}\)
Teraz nie wiem czy liczyc pochodne tylko po x?

[R1990]

Po tym i po tym

[Dasio11]

Jaka jest używana przez ciebie definicja \(\displaystyle{ \cos z, \sin z?}\) Taka?

\(\displaystyle{ \cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y}\) gdzie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y}\)

[Wujas11]

tak