Mógłby ktoś mi pokazać jak ustalić zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ Z- \frac{z ^{2} }{2!} + \frac{z ^{3}}{3!} - \frac{z ^{4}}{4!} ...}\)
by mógłbym za pomocą tego rozwiązywać inne zadania.
Szereg zespolony potęgowy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10204
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2358 razy
Szereg zespolony potęgowy
Współczynniki szeregu wyrażają się wzorem ogólnym
\(\displaystyle{ a_n=\frac{-(-z)^n}{n!}.}\)
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ z.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^n}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{n+1} = 0,}\)
więc szereg jest zbieżny. To znaczy, że szereg jest zbieżny na całej płaszczyźnie.
\(\displaystyle{ a_n=\frac{-(-z)^n}{n!}.}\)
Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ z.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^n}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{n+1} = 0,}\)
więc szereg jest zbieżny. To znaczy, że szereg jest zbieżny na całej płaszczyźnie.