równanie w zbiorze liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
xxDorota24xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 30 gru 2011, o 13:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Włoszczowa

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: xxDorota24xx »

Hej;) może mi ktoś pomóc??
mam taki zadanie:
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 2z+\overline{z}=6-5i}\)
nie wychodzi mi to:(((
Ostatnio zmieniony 20 sty 2012, o 18:15 przez Dasio11, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nawet niewielkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w klamry [latex][/latex]. Sprzężenie z to \overline{z} lub \bar{z}.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: Dasio11 »

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+y\mathrm i.}\)
xxDorota24xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 30 gru 2011, o 13:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Włoszczowa

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: xxDorota24xx »

Czemu najpierw do tego trzeba to podstawic? Do jakiego to wzoru dalej podstawić zeby rozwiązać całość?-- 20 sty 2012, o 21:45 --Nie ogarniam wogóle tego:(
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: Dasio11 »

Chcemy znaleźć liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\) spełniające to równanie. Każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) daje się przedstawić w postaci algebraicznej \(\displaystyle{ z=x+y \mathrm i.}\) W równaniu pojawia się operacja sprzężenia: \(\displaystyle{ \overline{z},}\) która z definicji odwołuje się do postaci algebraicznej \(\displaystyle{ z,}\) więc przy rozwiązywaniu równania wygodnie będzie się tą postacią posługiwać. Po prostu od tej pory szukamy par liczb \(\displaystyle{ (x, y),}\) których reprezentacja zespolona \(\displaystyle{ z}\) spełnia podane równanie, zamiast szukać samej liczby \(\displaystyle{ z.}\)
Nabełkotałem? :)

Po podstawieniu wychodzi:

\(\displaystyle{ 2z+\overline{z}=6-5i \\
2(x+y \mathrm i) + (x-y \mathrm i) = 6-5 \mathrm i \\
3x -y \mathrm i = 6-5 \mathrm i.}\)


Powyższa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zarówna część urojona strony lewej jest równa części urojonej strony prawej, jak i część rzeczywista. Dostajemy stąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x=6 \\ -y=-5 \end{cases}}\)

co już chyba nietrudno rozwiązać. Ponieważ układ równań jest równoważny wyjściowemu równaniu, to rozwiązaniami równania będą takie liczby \(\displaystyle{ z=x+y \mathrm i,}\) że para \(\displaystyle{ (x, y)}\) jest rozwiązaniem układu równań.

Rozumiesz?
xxDorota24xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 30 gru 2011, o 13:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Włoszczowa

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: xxDorota24xx »

Tak teraz to juz o wiele prostsze jest dzieki bardzo:):)
ODPOWIEDZ