Nie wykonując dzieleń policzyć resztę z dzielenia wielomianu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
djlinux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 9 gru 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 7 razy

Nie wykonując dzieleń policzyć resztę z dzielenia wielomianu

Post autor: djlinux »

Nie wykonująć dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:

\(\displaystyle{ P(x) = x^{2006} + x ^{1002} -1\\
Q(x) = x^4 +1}\)


Policzyłem pierwiastki zespolone z równania \(\displaystyle{ x^4+1 =0}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \\
x = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \\
x = -\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \\
x = -\frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \\}\)


Licząc P(x), gdzie za x wstawię każdy z powyższych pierw. na mocy tw. Bezouta miałbym układ 4 równań aby policzyć resztę, która może być trzeciego stopnia.
Czuje, że tutaj coś można zauważyć, może ktoś mi podpowie ?
aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Nie wykonując dzieleń policzyć resztę z dzielenia wielomianu

Post autor: aalmond »

\(\displaystyle{ P(x) = x^{2006} + x ^{1002} -1 = x^2 \cdot \left ( x^4 \right )^{501} + x^2 \cdot \left ( x^4 \right )^{250} - 1 \\ \\
P(x) = W(x) \cdot (x^4 + 1) + R(x) \\ \\
R(x) = x^2 \cdot \left ( -1 \right )^{501} + x^2 \cdot \left ( -1 \right )^{250} - 1 = -1}\)
ODPOWIEDZ