Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
sirkamelot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 11 lut 2006, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: sirkamelot »

Witam,

Mam takie równanko do rozwiązania:
\(\displaystyle{ z^{3}+\left( 1+i\right)z =0}\)

Proszę o odpowiedź, czy dobrze to rozwiązuję. Jeśli nie, to gdzie robię błąd, jak powinienem sie do tego zadania zabrać? Robię tak:
\(\displaystyle{ z\left( z^{2} +1+i\right) = 0}\)
\(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ \left( z^{2} +1+i\right) = 0}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ z^{2}=-1-i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{-1-i}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ \left( -1\right) ^{2} + \left( -1\right) ^{2} } = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{5}{4} \pi}\)
\(\displaystyle{ z1 = \sqrt{2}\left( cos \frac{5}{8} \pi +isin \frac{5}{8} \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z2 = \sqrt{2}\left( cos \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} +isin \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} \right)}\)
Czy to jest zrobione dobrze?

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
DjFlash
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 23 mar 2011, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 20 razy

Równanie zespolone

Post autor: DjFlash »

sirkamelot pisze:Witam,

Mam takie równanko do rozwiązania:
\(\displaystyle{ z^{3}+\left( 1+i\right)z =0}\)

Proszę o odpowiedź, czy dobrze to rozwiązuję. Jeśli nie, to gdzie robię błąd, jak powinienem sie do tego zadania zabrać? Robię tak:
\(\displaystyle{ z\left( z^{2} +1+i\right) = 0}\)
\(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ \left( z^{2} +1+i\right) = 0}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ z^{2}=-1-i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{-1-i}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ \left( -1\right) ^{2} + \left( -1\right) ^{2} } = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{5}{4} \pi}\)
\(\displaystyle{ z1 = \sqrt{2}\left( cos \frac{5}{8} \pi +isin \frac{5}{8} \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z2 = \sqrt{2}\left( cos \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} +isin \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} \right)}\)
Czy to jest zrobione dobrze?

Pozdrawiam
Tylko sama końcówka do poprawy


\(\displaystyle{ z_1 = \sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{5}{8} \pi +i \sin \frac{5}{8} \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z_2 = \sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} +i \sin \frac{\frac{5}{8} \pi+2 \pi}{2} \right)}\)
sirkamelot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 11 lut 2006, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: sirkamelot »

Dzięki wielkie!
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Równanie zespolone

Post autor: bedbet »

DjFlash skąd tam u Ciebie \(\displaystyle{ \sqrt[4]{2}}\)? sirkamelot nie zapomnij jeszcze w ostatecznym zapisie o \(\displaystyle{ z_3=0}\).
Awatar użytkownika
DjFlash
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 23 mar 2011, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 20 razy

Równanie zespolone

Post autor: DjFlash »

bedbet pisze:DjFlash skąd tam u Ciebie \(\displaystyle{ \sqrt[4]{2}}\)? sirkamelot nie zapomnij jeszcze w ostatecznym zapisie o \(\displaystyle{ z_3=0}\).
ze wzoru de Moivre'a

\(\displaystyle{ \sqrt{ \sqrt{2} } = \sqrt[4]{2}}\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Równanie zespolone

Post autor: bedbet »

Już chyba pora spać.
ODPOWIEDZ