Witam, ma problem z jednym przykładem dotyczącym nierówności i modułu, otoż:
\(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C : \left| z-2-3i\right| < \left| z -1 + i\right| \right\}}\)
Lewa strone nierówności (podobnie jak prawą) przekształcam w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left| z-2-3i\right| = \left| x+iy -2 + 3i\right| = \left| (x-2) + (3+y)i\right| = \sqrt{ (x-2) ^{2} + (y+3) ^{2} _{} \right|}}\)
Dochodze do nierowności:
\(\displaystyle{ (x-2) ^{2} + (y+3) ^{2} < (x-1) ^{2} + (y+1) ^{2}}\)
i tutaj robią sie schodki. Po spotęgowaniu i skróceniu stronami wychodzi mi nierowność \(\displaystyle{ -2x-8y< -11}\) i nie jestem pewien czy dobrze wykonałem wszystkie kroki.
Rysunek na płaszczyźnie zespolonej.
Rysunek na płaszczyźnie zespolonej.
To się robi geometrycznie. Odległość \(\displaystyle{ z}\) od liczby \(\displaystyle{ 2+3i}\) jest większa niż odległość liczby \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ 1-i}\). Równe odległości są na symetralnej odcinka o końcach \(\displaystyle{ 2+3i}\) oraz \(\displaystyle{ 1-i}\). A my mamy półpłaszczyznę wyznaczoną przez tę symetralną i to tę półpłaszczyznę, w której nie leży punkt \(\displaystyle{ 2-3i.}\) Narysuj, zobacz. Rozwiązania analityczne w takim zadaniu to niepotrzebna gmatwanina.
Korzystałem z prostego faktu: \(\displaystyle{ |z-z_0|}\) to odległość na płaszczyźnie zespolonej liczb \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z_0.}\)
Korzystałem z prostego faktu: \(\displaystyle{ |z-z_0|}\) to odległość na płaszczyźnie zespolonej liczb \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z_0.}\)