Pierwiastki równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
fall
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 1 paź 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Pierwiastki równania

Post autor: fall »

Taki przykład:
\(\displaystyle{ z^2+3z+3-i=0}\)
delta:
\(\displaystyle{ -3+4i}\)
Chciałem przedstawić deltę w postaci trygonometrycznej, ale wychodzi mi brzydki kąt
\(\displaystyle{ 2 \pi - \arctan \left( \frac{4}{3} \right)}\)

Z kolei pierwiastkami powinny być liczby:
\(\displaystyle{ z_1=-2-i \\
z_2=-1-i}\)


Można to zrobić inaczej (bez zamiany z na postać algebraiczną) ?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2012, o 13:08 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
kajus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 437
Rejestracja: 31 sty 2010, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
Pomógł: 129 razy

Pierwiastki równania

Post autor: kajus »

\(\displaystyle{ \Delta=-3+4i\\}\)
szukasz pierwiastka z delty, więc szukasz takiej liczby \(\displaystyle{ w}\) że \(\displaystyle{ w^2=\Delta}\)
\(\displaystyle{ w^2=\Delta\\
(a+bi)^2=-3+4i\\
a^2+2abi-b^2=-3+4i\\
\begin {cases} a^2-b^2=-3\\2ab=4 \end {cases}}\)

z tego znajdziesz \(\displaystyle{ a,b}\)oraz \(\displaystyle{ w}\) a z tego już będziesz miał pierwiastki równania
fall
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 1 paź 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Pierwiastki równania

Post autor: fall »

Domyślam się, że a,b należą do rzeczywistych
Wyszło

a takie równanie:
\(\displaystyle{ z^3=(1-i)^3}\) ?
\(\displaystyle{ (\frac{z}{1-3}) ^{3}=1}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt[3]{1}}\)

Czyli t będzie równe 1, a pozostałe 2 pierwiastki ?
kajus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 437
Rejestracja: 31 sty 2010, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
Pomógł: 129 razy

Pierwiastki równania

Post autor: kajus »

widać od razu, że \(\displaystyle{ z=1-i}\) jest pierwiastkiem danego równania, a dalej korzystasz ze wzoru, który pozwala wyznaczyć pierwiastki, gdy jeden z nich jest dany
fall
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 1 paź 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Pierwiastki równania

Post autor: fall »

Wracając jeszcze do 1 równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1\\ b=2 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-1 \\ b=-2 \end{cases}}\)
Czyli pierwiastki:
\(\displaystyle{ w=1+2i}\)
\(\displaystyle{ w=-1-2i}\)
Błąd jest w odpowiedziach czy u mnie ?

Co do drugiego równania:
Rozumiem, że chodzi o wzór de'Moviera, ale co podręcznik to inna definicja.
Można zauwać wikipedii jeżeli o niego chodzi ?
kajus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 437
Rejestracja: 31 sty 2010, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
Pomógł: 129 razy

Pierwiastki równania

Post autor: kajus »

\(\displaystyle{ w}\) to jest pierwiastek z delty a nie całego równania
ja pamiętam taki wzór:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=z_{0} \cdot \left( \cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right) +i \cdot \sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right) \right) \, , \mbox{ dla } \ k=1,2,...n-1}\) gdzie \(\displaystyle{ z_{0}}\) to znany pierwiastek równania,
a \(\displaystyle{ n}\) to stopień pierwiastka (u Ciebie 3)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2012, o 13:09 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
fall
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 1 paź 2011, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 16 razy

Pierwiastki równania

Post autor: fall »

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} ={1+2i,-1-2i}}\)
Policzyłem dla \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_1}}\) i wychodzi zgodnie z odpowiedziami.
Czy zawsze trzeba liczyć dla "obu" delt pierwiastki, skoro dla obu wyniki końcowe są takie same?

2 równanie:
Wyszło ;]

Prosiłbym jeszcze o podpowiedzi do tych równań, bo nie wiem jak je ruszyć:
3. \(\displaystyle{ (z+1)^6+z^6=0}\)
4. \(\displaystyle{ z^6=(1+2i)^{12}}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2012, o 13:10 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
kajus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 437
Rejestracja: 31 sty 2010, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
Pomógł: 129 razy

Pierwiastki równania

Post autor: kajus »

\(\displaystyle{ (z+1)^6+z^6=0\\
(z+1)^6=-z^6\\
(z+1)^6=(i \cdot z)^6\\
z+1=i \cdot z\\
z(1-i)=-1\\}\)

z tego wyznaczasz jeden pierwiastek, a reszta jak wyżej
co do 4. jeśli to miało być:
\(\displaystyle{ z^6=(1+2i)^{12}}\) to tam też widać pierwiastek polecam uważnie na to spojrzeć:)
pozdro
Ostatnio zmieniony 16 sty 2012, o 13:11 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot
ODPOWIEDZ