Równania(postać wykładnicza liczb zespolonych)

[swk1]

Muszę rozwiązać te dwa równania, ale kompletnie nie wiem, jak je rozgryźć. Wiem, że trzeba tu wykorzystać tę postać wykładniczą, ale i tak nie mogę tego ruszyć.
1) \(\displaystyle{ e^{z+i} =2 (\sqrt{3} -i)}\)
2) \(\displaystyle{ \sin 2z=-2i}\)

[Chromosom]

1. zastosuj wzór de Moivre'a
2. najpierw skorzystaj z przedstawienia sinusa za pomocą zespolonej funkcji wykładniczej

[swk1]

Czy to 1. można tak rozpisać:
\(\displaystyle{ e^{z+i}=e^{x+iy+i}=e^{x}\left(\cos \left(y+1\right)+i\sin \left(y+1\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ 2\left(\sqrt{3}-i\right)=4\left(\cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi\right)}\)?
a potem przyrównać?

w związku z tym \(\displaystyle{ z=\ln4 + i\frac{11}{6}\pi}\)

[Chromosom]

powyższa metoda jest poprawna

[swk1]

A to drugie zaczynam tak:
\(\displaystyle{ \sin{2z}=2\sin{z}\cos{z}}\), potem rozpisuję to z wzorów i staję na: \(\displaystyle{ \frac{e ^{2zi}-e ^{-2zi} }{ 2i } = -2i}\)

[Chromosom]

nie jest to potrzebne, wystarczy bezpośrednio skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ \sin(2z)=\frac{e^{2\,\text iz}-e^{-2\,\text iz}}{2\,\text i}}\)

[swk1]

\(\displaystyle{ \sin(2z)=\frac{e^{2\,\text iz}-e^{-2\,\text iz}}{2\,\text i}=-2i}\)
\(\displaystyle{ e^{2iz} - e^{-2iz}=4}\)
podstawiłem sobie za \(\displaystyle{ e^{2iz}=t}\)
dostałem równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ t ^{2}-4t-1=0}\)
i rozwiązania \(\displaystyle{ t=2- \sqrt{5}}\) lub \(\displaystyle{ t=2+ \sqrt{5}}\)

No i teraz nie wiem, jak przejść z tego do wyliczenia z, a może w ogóle źle sobie to wszystko przyjąłęm?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ e^{2\,\text iz}-e^{-2\,\text iz}=4\\ e^{4\,\text iz}-4e^{2\,\text iz}-1=0\\ \left(e^{2\,\text iz}-2\right)^2-4-1=0}\)
w ten sposób łatwo znajdziesz rozwiązania.

[swk1]

Aha. Wielkie dzięki, sam chyba bym tego nie rozwiązał.