Obliczyć liczbę

marcinek92 · Post autor: **marcinek92** » 14 sty 2012, o 19:22

Jak obliczyć coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt{(5-4i)^4}}\) ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 sty 2012, o 19:30

Jedna z liczb: to \(\displaystyle{ (5-4i)^2}\), a druga jest do niej przeciwna. Zawsze są dwa różne pierwiastki kwadratowe (wzajemnie przeciwne) z liczby zespolonej różnej od zera.

marcinek92 · Post autor: **marcinek92** » 14 sty 2012, o 22:18

czyli coś takiego
\(\displaystyle{ (5-4i)^2}\) oraz \(\displaystyle{ -((5-4i)^2(}\) ?
czyli dwa rozwiązania 9-40i , oraz -9+40i ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 sty 2012, o 22:22

O ile dobrze podniosłeś do kwadratu. Ale OK, o ile dobrze w pamięci liczę.

marcinek92 · Post autor: **marcinek92** » 14 sty 2012, o 22:32

A np. taki przykład
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(-2+3i)^4}}\) też się robi analogicznie jak poprzedni ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 14 sty 2012, o 22:45

No nie do końca. Jednym pierwiastków jest \(\displaystyle{ -2+3i}\). Teraz to mnożysz przez wszystkie pierwiastki stopnia czwartego z jedynki: \(\displaystyle{ \pm 1\,,\ \pm i}\) i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ -2+3i\,,\ 2-3i\,,\ -2i-3\,,\ 2i+3}\)

marcinek92 · Post autor: **marcinek92** » 14 sty 2012, o 23:39

A jakbym napisał coś takiego to byłoby bardzo źle ?
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(-2+3i)^4}=1}\) Bo ilość rozwiązań jest taka jakiej potęgi jest pierwiastek ?