wielomian z pierwiastkami zespolonymi

[thepunisher92pl]

mam zadanie takiej treści i nie potrafię go rozwiązać, byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś zechciał mi wyjaśnić krok po kroku co trzeba wykonać w tym zadaniu


Treść zadania:

Pokaż, że jeśli liczba zespolona \(\displaystyle{ z_{1}}\) jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego "P", to liczba \(\displaystyle{ \overline{z_{1}}}\) także jest pierwiastkiem wielomianu "P". Korzystając z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu \(\displaystyle{ P(x)= x^{4}-4x^{3}+12x^{2}-16x+15}\) wiedząc, że jednym z nich jest \(\displaystyle{ x_{1}=1+2i}\)

bardzo prosiłbym aby wyjaśnić jak to się rozwiązuje

[szw1710]

Udowodnię to korzystając z następujących faktów:

1. \(\displaystyle{ \overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}}\),
2. \(\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}}\),
3. Jeśli \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ \overline{a}=a}\).

Niech

\(\displaystyle{ p(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\,,}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_0,\dots,a_n\in\mathbb{R}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ p(z_1)=0}\). Wykażemy, że \(\displaystyle{ p(\overline{z_1})=0}\). Istotnie,


\(\displaystyle{ p(\overline{z_1})=\sum_{i=0}^na_i(\overline{z_1})^i=\sum_{i=0}^n\overline{a_i}\overline{z_1^i}
=\sum_{i=0}^n\overline{a_iz_1^i}=\overline{\sum_{i=0}^na_iz_1^i}=\overline{p(z_1)}=\overline{0}=0\,.}\)

Reszta zadania: pomnóż \(\displaystyle{ \bigl(z-(1+2i)\bigr)\bigl(z-(1-2i)\bigr)=\dots}\). Wyjdzie rzeczywisty trójmian nierozkładalny, przez który podziel Twój wielomian i znajdź pierwiastki tego drugiego czynnika.

[thepunisher92pl]

już rozumiem o co chodzi