rozwiązanie równania zespolonego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lucienne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro

rozwiązanie równania zespolonego

Post autor: lucienne »

Witam, nie bardzo wiem, jak to rozgryźć:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+iz}{1-iz} \right) =1}\)

bo tak, rozpisałam sobie to i przemnożyłam przez i, czyli:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+ix-y}{1-ix+y} \right)=1}\)

później pozbywam się i z mianownika, czyli:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{(1+ix-y) \cdot ((1+y)+ix)}{((1+y)-ix) \cdot ((1+y)+ix)} \right)=1}\)

po wymnożeniu:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2ix -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x} \right)=1}\)

mianownik mnie już nie interesuje, bo nie ma w nim i, zatem
\(\displaystyle{ 2x=1 ?}\)

wolfram mnie poinformował, że ma być \(\displaystyle{ z=2-i}\)
mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jak to zrobić poprawnie?
Ostatnio zmieniony 14 sty 2012, o 12:52 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

rozwiązanie równania zespolonego

Post autor: silvaran »

Jeśli nie pomyliłaś w przejściach, to na końcu zostawiając tylko część urojoną powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{(1+y)^{2}+x}=1}\)
arbeiten100
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 19 gru 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zakopane
Podziękował: 5 razy

rozwiązanie równania zespolonego

Post autor: arbeiten100 »

Powiem tak. Są dwie odpowiedzi poprawne. z=2-1 i z=1. Wolfram pokazuje tylko tą pierwszą, natomiast jak ją wyznaczyć? Według moich obliczeń wychodzi z=1, ale mam tylko jedno rozwiązanie i nie wiem jak wyznaczyć drugie.

\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}= \frac{ (1+iz)^{2} }{1+ z^{2} }= \frac{1+2iz- z^{2} }{1+ z^{2}} = \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2iz}{1+ z^{2} }}\)

Według założeń część urojona jest równa 1, więc:

\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1 \Leftrightarrow z^{2}-2z+1=0 \Leftrightarrow z=1}\)

Tyle ode mnie.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

rozwiązanie równania zespolonego

Post autor: Dasio11 »

lucienne pisze:po wymnożeniu:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2ix -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x} \right)=1}\)
Do tej pory dobrze, z dokładnością do literówki: w mianowniku powinien być \(\displaystyle{ x^2.}\)

Z definicji:

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2 \mathrm i x -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x^2} \right) = \frac{2x}{(1+y)^2+x^2}}\)

czyli mamy do rozwiązania

\(\displaystyle{ (1+y)^2 + x^2 = 2x \\ \\
(1+y)^2 + (x-1)^2 = 1}\)


do daje okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku w \(\displaystyle{ (1, -1).}\)

Jak uwzględnimy dziedzinę, wypadnie \(\displaystyle{ z= -\mathrm i,}\) więc rozwiązaniem jest okrąg bez punktu.

arbeiten100 pisze:Według założeń część urojona jest równa 1, więc:

\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1}\)
To rozwiązanie jest niepoprawne, bo nie wiadomo, czy

\(\displaystyle{ \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2iz}{1+ z^{2} }}\)

jest postacią algebraiczną liczby \(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}.}\) Będzie tak na pewno wtedy, gdy \(\displaystyle{ z \in \mathbb R,}\) ale nie na ogół. Niepewna jest więc równość

\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \frac{1+iz}{1-iz} = \frac{2z}{1+z^2}.}\)
ODPOWIEDZ