Witam, nie bardzo wiem, jak to rozgryźć:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+iz}{1-iz} \right) =1}\)
bo tak, rozpisałam sobie to i przemnożyłam przez i, czyli:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+ix-y}{1-ix+y} \right)=1}\)
później pozbywam się i z mianownika, czyli:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{(1+ix-y) \cdot ((1+y)+ix)}{((1+y)-ix) \cdot ((1+y)+ix)} \right)=1}\)
po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2ix -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x} \right)=1}\)
mianownik mnie już nie interesuje, bo nie ma w nim i, zatem
\(\displaystyle{ 2x=1 ?}\)
wolfram mnie poinformował, że ma być \(\displaystyle{ z=2-i}\)
mógłby mi ktoś wytłumaczyć, jak to zrobić poprawnie?
rozwiązanie równania zespolonego
rozwiązanie równania zespolonego
Ostatnio zmieniony 14 sty 2012, o 12:52 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1300
- Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 123 razy
rozwiązanie równania zespolonego
Jeśli nie pomyliłaś w przejściach, to na końcu zostawiając tylko część urojoną powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{(1+y)^{2}+x}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2x}{(1+y)^{2}+x}=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 19 gru 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zakopane
- Podziękował: 5 razy
rozwiązanie równania zespolonego
Powiem tak. Są dwie odpowiedzi poprawne. z=2-1 i z=1. Wolfram pokazuje tylko tą pierwszą, natomiast jak ją wyznaczyć? Według moich obliczeń wychodzi z=1, ale mam tylko jedno rozwiązanie i nie wiem jak wyznaczyć drugie.
\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}= \frac{ (1+iz)^{2} }{1+ z^{2} }= \frac{1+2iz- z^{2} }{1+ z^{2}} = \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2iz}{1+ z^{2} }}\)
Według założeń część urojona jest równa 1, więc:
\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1 \Leftrightarrow z^{2}-2z+1=0 \Leftrightarrow z=1}\)
Tyle ode mnie.
\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}= \frac{ (1+iz)^{2} }{1+ z^{2} }= \frac{1+2iz- z^{2} }{1+ z^{2}} = \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2iz}{1+ z^{2} }}\)
Według założeń część urojona jest równa 1, więc:
\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1 \Leftrightarrow z^{2}-2z+1=0 \Leftrightarrow z=1}\)
Tyle ode mnie.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
rozwiązanie równania zespolonego
Do tej pory dobrze, z dokładnością do literówki: w mianowniku powinien być \(\displaystyle{ x^2.}\)lucienne pisze:po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2ix -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x} \right)=1}\)
Z definicji:
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \left( \frac{1+2 \mathrm i x -x^{2} - y^{2}}{(1+y)^{2}+x^2} \right) = \frac{2x}{(1+y)^2+x^2}}\)
czyli mamy do rozwiązania
\(\displaystyle{ (1+y)^2 + x^2 = 2x \\ \\
(1+y)^2 + (x-1)^2 = 1}\)
do daje okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku w \(\displaystyle{ (1, -1).}\)
Jak uwzględnimy dziedzinę, wypadnie \(\displaystyle{ z= -\mathrm i,}\) więc rozwiązaniem jest okrąg bez punktu.
To rozwiązanie jest niepoprawne, bo nie wiadomo, czyarbeiten100 pisze:Według założeń część urojona jest równa 1, więc:
\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2iz}{1+ z^{2} }}\)
jest postacią algebraiczną liczby \(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}.}\) Będzie tak na pewno wtedy, gdy \(\displaystyle{ z \in \mathbb R,}\) ale nie na ogół. Niepewna jest więc równość
\(\displaystyle{ \mbox{Im} \; \frac{1+iz}{1-iz} = \frac{2z}{1+z^2}.}\)