Równanie w zbiorze liczb zespolonych

[marcinek92]

Witam , jak się najlepiej dobrać to tego równania ?
\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\)

-- 13 sty 2012, o 23:03 --

Alarm chyba odwołany , można to równanie podzielić stronami przez

\(\displaystyle{ (z-1)^6=(i-z)^6}\) ?

ale trzeba jeszcze jakieś stosowne założenia dopisać ?

[BarSlo]

Podstaw pod \(\displaystyle{ z=x+iy}\) no, a teraz już ze wzoru Moivre'a

[arbeiten100]

Najprościej zrobić tak. Mamy dwie te same potęgi po obu stronach równania, więc są one równe, wtedy i tylko wtedy, gdy liczby potęgowane są równe.

\(\displaystyle{ (z-1)^{6}= (i-z)^{6} \Leftrightarrow z-1=i-z \Leftrightarrow 2z=i+1 \Leftrightarrow z= \frac{i+1}{2}}\)

[brzoskwinka1]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ e_0 ,e_1 ,e_2 ,e_3, e_4 ,e_5}\) pierwiastki szóstego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\). Wówczas otrzymujemy \(\displaystyle{ z_k =\frac{ie_k +1}{1+e_k}}\) dla \(\displaystyle{ k\in \{0,1,2,4,5\}}\) jako rozwiązania.

[marcinek92]

Największy problem jest z tym jak to wyrażenie otrzymać \(\displaystyle{ z_k =\frac{ie_k +1}{1+e_k}}\)

Bo otrzymuje coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{z-1}{i-z}=\sqrt[6]{1}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{1}=e^{\frac{ik\pi}{3}}}\)
\(\displaystyle{ e^{\frac{i\pi}{3}}=(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}})^k}\)

czyli wychodzi coś takiego :
\(\displaystyle{ z-1=(i-z)(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}})^k}\)
Wydaje mi się , że z tego się powinno obliczyć z , a potem to już podstawiać kolejne k. Tylko jak to zrobić ?

[Dasio11]

Dla przejrzystości rachunków dobrze zrobić, tak jak brzoskwinka1 - podstawić

\(\displaystyle{ e_k = \cos \frac{k \pi \mathrm i}{3} + \mathrm i \sin \frac{k \pi \mathrm i}{3}.}\)

Twoje równanie jest liniowe.

[marcinek92]

a tak nie można zrobić ponieważ daje to tylko jedno rozwiązanie ?
\(\displaystyle{ (z-1)^{6}= (i-z)^{6} \Leftrightarrow z-1=i-z \Leftrightarrow 2z=i+1 \Leftrightarrow z= \frac{i+1}{2}}\)
i faktycznie , gdy się podstawi k=0 , wychodzi z=i+12

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (z-1)^{6}= (i-z)^{6} \Leftrightarrow z-1=i-z}\)

Ta równoważność w ogóle nie jest prawdziwa. Podobnie, jak nieprawdą jest

\(\displaystyle{ x^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x=-1}\)

bo przecież \(\displaystyle{ x=1}\) również spełnia równanie. Po prostu funkcja

\(\displaystyle{ s(z)=z^6}\)

nie jest różnowartościowa, więc równość wartości nie pociąga za sobą równości argumentów. Znalazłeś, rzecz jasna, jedno rozwiązanie, ale przemilczałeś pięć innych.

[brzoskwinka1]

Dostajesz sześć równań które musisz rozwiązać:
\(\displaystyle{ z-1 =e_0 \cdot (i-z)}\)
\(\displaystyle{ z-1 =e_1 \cdot (i-z)}\)
\(\displaystyle{ z-1 =e_2 \cdot (i-z)}\)
\(\displaystyle{ z-1 =e_3 \cdot (i-z)}\)
\(\displaystyle{ z-1 =e_4 \cdot (i-z)}\)
\(\displaystyle{ z-1 =e_5 \cdot (i-z)}\)
to wszystko.