Czy wynik który mi wyszedł jest prawidłowy

[kamil_9107]

witam
Mam do was prośbę otóż miałem kolokwium z liczb zespolonych i zastanawia mnie jedno zadanie:
Obliczyc \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} - \mathrm i \right)^{32}.}\) Wynik podac w postaci algebraicznej. Mi wyszło że \(\displaystyle{ z= - \mathrm i \cdot 2^{32}.}\) Czy ten wynik jest poprawny?

Witamy na pokładzie. Na początek radzę zapoznać się z dobrodziejstwami LaTeXa. Ahoj! Dasio11

[aalmond]

Nie wygląda to dobrze.

[kamil_9107]

a mógłbyś mi przybliżyc jak to miało by wyglądac?

[aalmond]

\(\displaystyle{ z = \sqrt{3} - \mbox{i} = 2 \left ( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} \mbox{i} \right ) = 2 \left ( \cos \frac{11}{6} \pi + \mbox{i} \sin \frac{11}{6} \pi \right )}\)

i teraz wzór de Moivre'a

[kamil_9107]

no właśnie tak mi wyszło a później jak podstawiłem 32 to właśnie wyszedł mi wynik który napisałem.
Na końcu wyszło mi dla cosx=0 a dla sinx=-1-- 13 sty 2012, o 01:54 --i wydaje mi sie ze poprawny wynik wyszedł ale jakbyście mogli mi napisac czy dobrze mysle, ponieważ sprawdzałem to 3 krotnie i już sam nie wiem

[aalmond]

To teraz tylko podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ z^{32} = 2^{32} \left ( \cos \frac{32 \cdot 11}{6} \pi + \mbox{i} \sin \frac{32 \cdot 11}{6} \pi \right ) = 2^{32} \left ( \cos \frac{176}{3} \pi + \mbox{i} \sin \frac{176}{3} \pi \right ) = 2^{32} \left ( \cos \frac{2}{3} \pi + \mbox{i} \sin \frac{2}{3} \pi \right ) = 2^{32} \left ( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} \mbox{i} \right )}\)

[kamil_9107]

no tak mi wyszło ale przeciez \(\displaystyle{ \cos \frac{2}{3} \pi}\) to \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ \sin \frac{2}{3} \pi}\) to jest \(\displaystyle{ -1}\) wiec jak ci wyszło \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) ?