Pierwiastki z liczb nie ujemnych dowolnego stopnia

[gruchex]

Witam!
Mam takie pytanie odnośnie liczb zespolonych. Ostatnio trafiłem takie zadanie na egzaminie i nie wiedziałem jak się za nie złapać choć wydawało mi się, że znam zespolone dobrze

Wyznacz wszystkie pierwiastki z \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\)

Jak się do tego zabrać i jak ogólnie się oblicza takie pierwiastki

Z góry dziękuję za każdą pomoc

Pozdrawiam!

[martaa]

Masz \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1} = x}\). |-1|=1,\(\displaystyle{ Arg-1 =\pi + 2k\pi}\), czyli szukasz liczby, której \(\displaystyle{ \sqrt[4]{|x|} = 1}\), czyli |x| = 1, oraz \(\displaystyle{ 4argx = \pi + 2k\pi}\).
Czyli wychodzi \(\displaystyle{ argx = \frac{\pi}{4}}\) lub
\(\displaystyle{ argx = \frac{5\pi}{8}}\) lub
\(\displaystyle{ argx = \frac{9\pi}{8}}\) lub
\(\displaystyle{ argx = \frac{13\pi}{8}}\) bo reszta się powtarza...
Można z tego nawet wyliczyć postać a+bi, bo łatwo obliczysz \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{8}}\) i tym podobne...