Znaleźć rozwiązania równania.

[arbeiten100]

Proszę o rozwiązanie równania.

\(\displaystyle{ \cos^{2}x+ \frac{1}{2}=0}\)

[Jan Kraszewski]

Czy rozważasz funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej, czy zmiennej zespolonej?

JK

[arbeiten100]

W tym przypadku rozwiązanie tego równania jako funkcja trygonometryczna zmiennej rzeczywistej nie istnieje, więc pozostają nam liczby zespolone. Dobrze rozumuję? Czy są na to jakieś wzory, zależności ? jak to wyznaczyć. Dziękuję.

[Jan Kraszewski]

Nie powinieneś się tego domyślać, tylko wiedzieć. Skąd masz to zadanie?

JK

[arbeiten100]

Studiuję, ale matematykę mam na dość niskim poziomie, więc próbuję sam robić zadania w domu. Ten przykład nie jest z żadnej książki. Zastanawiam się jak to rozwiązać, gdyż zostało nam( studentom) powiedziane, że każdy wielomian ma tyle rozwiązań, ile wynosi jego stopień.


Więc jest możliwość wyznaczenia rozwiązań?

[Jan Kraszewski]

To nie jest wielomian.

JK

[arbeiten100]

Dlaczego to nie wielomian? To może przedstawmy to w inny sposób. Mamy:
\(\displaystyle{ \cos^{2}x+ \frac{1}{2}=0}\)

Niech \(\displaystyle{ t= \cos x}\)\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ t^{2}+ \frac{1}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{i}{2}}\)
\(\displaystyle{ t=\sqrt{\frac{i}{2}} \vee t=-\sqrt{ \frac{i}{2} }}\)

Więc:
\(\displaystyle{ \cos x = \sqrt{ \frac{i}{2} } \vee \cos x = -\sqrt{ \frac{i}{2} }}\)

Proszę o rozwiązanie dwóch ostatnich równań, które są równoznaczne z pierwszym.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego to nie wielomian?

Bo nie jest:

\(\displaystyle{ t^{2}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{i}{2}}\)

A to nie jest prawda.

JK

[arbeiten100]

Dobra co do wielomianu, to już się nie wypowiadam, ponieważ uważam inaczej.

\(\displaystyle{ t^{2}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{i}{2}}\)

A to nie jest prawda.

JK

Tutaj przyznaję rację. Mała pomyłka przy liczeniu.

\(\displaystyle{ t^{2}=- \frac{1}{2} \wedge i^{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ t^{2}= \frac{ i^{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ t= \frac{i \sqrt{2} }{2} \vee t=- \frac{ i\sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos x =\frac{i \sqrt{2} }{2} \vee \cos x =- \frac{ i\sqrt{2} }{2}}\)

Przepraszam za błąd. Proszę o rozwiązanie dwóch ostatnich przykładów.

[Jan Kraszewski]

Dobra co do wielomianu, to już się nie wypowiadam, ponieważ uważam inaczej.

Na szczęście matematyka nie zależy od indywidualnych opinii...

JK

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \cos (x + y \mathrm i) = \cos x \cosh y - \mathrm i \sin x \sinh y}\)

więc jak chcemy

\(\displaystyle{ \cos(x+ y \mathrm i) = \mp \frac{\mathrm i}{2}}\)

to z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \cosh}\) się nie zeruje, musi być

\(\displaystyle{ \cos x = 0}\)

tzn. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} + k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z,}\) co daje \(\displaystyle{ \sin x \in \{-1, 1 \}.}\)

Ponadto ma zachodzić

\(\displaystyle{ \sin x \sinh y = \pm \frac{1}{2}}\)

tzn.

\(\displaystyle{ \sinh y = \pm \frac{1}{2}}\)

lub równoważnie

\(\displaystyle{ y= \pm \ln \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right).}\)

Rozwiązaniem jest więc zbiór

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{\pi}{2} + k \pi : k \in Z \right\} \times \left\{ \ln \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right), -\ln \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) \right\}.}\)