Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

[Matej91]

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiory:

\(\displaystyle{ A = \left\{ z \in C : \left| z-2+2i\right| \le 2\right\} ,\\
B = \left\{ z \in C : \left| z-1+2i\right| \ge 1\right\} .}\)

Obliczyć pole powierzchni zbioru \(\displaystyle{ A \cap B}\)

Bardzo prosił bym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, ponieważ kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać.

[szw1710]

Nierówność \(\displaystyle{ |z-z_0|\le r}\) określa koło domknięte o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_0}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).

[Matej91]

A więc czy to będzie tak?

Dla zbioru A:

\(\displaystyle{ z-z _{0}=z-2+2i=z-(2-2i)}\)

zatem:
\(\displaystyle{ z _{0}=2-2i}\)

Dla zbioru B:

\(\displaystyle{ z-z _{0}=z-1+2i=z-(1-2i)}\)

zatem:
\(\displaystyle{ z _{0}=1-2i}\)


Pole powierzchni zbioru\(\displaystyle{ A \cap B}\)

\(\displaystyle{ A \cap B=1 \pi}\)


Jeśli to jest dobrze to prosił bym o graficzne przedstawienie tych zbiorów na wykresie, ponieważ mi wyszło koło o promieniu \(\displaystyle{ r=2}\) ze środkiem w punkcie \(\displaystyle{ \left( 2;-2\right)}\) i drugie goło wewnątrz tego koła przyległe do niego z lewej strony o promieniu \(\displaystyle{ r=1}\) i środku okręgu w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1;-2\right)}\) .-- 6 sty 2012, o 15:54 --Prosił bym o weryfikacje moich wyników.

[szw1710]

Koła OK. Więc koło \(\displaystyle{ B}\) ma mniejszy promień i jest zawarte w kole \(\displaystyle{ A}\). Ale zbiór \(\displaystyle{ B}\) to de facto zewnętrze mniejszego koła. Zatem \(\displaystyle{ A\cap B}\) to różnica kół większego i mniejszego mająca pole \(\displaystyle{ 4\pi-\pi=3\pi.}\)