Mnożenie liczb zespolonych

[krychu15]

Siemandero, mam pewien problem z zadaniem dotyczącym mnożenia liczb zespolonych. Doszedłem do pewnego momentu i stoję jak widły w...

Zadanko wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)\left( 1-i \sqrt{3} \right)}\)

Zamieniłem obie liczby na postać trygonometryczną:

\(\displaystyle{ Z_{1}= \sqrt{2}\left( cos \frac{\pi}{4}+i sin \frac{\pi}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ Z_{2}= 2\left( cos \frac{5}{3}\pi +i sin \frac{5}{3}\pi \right)}\)

I mnożonko (w skrócie bo mi się nie chce pisać )

\(\displaystyle{ Z_{1} \ast Z_{2}=2 \sqrt{2}\left( cos \frac{23\pi}{12} + i sin \frac{23\pi}{12} \right)}\)

I co dalej bo później w rozwiązaniu zadania przy i sin jest zmieniony znak na przeciwncy z \(\displaystyle{ \frac{23\pi}{12}}\) robi się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\), później jakiś \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) nie kumam nic dalej. Będę wdzięczny jak ktoś do mnie podejdzie jak do idioty. Pozdrawiam

[chris_f]

Przede wszystkim zaczyna się to od tego, że \(\displaystyle{ \frac{23}{12}\pi=2\pi-\frac{1}{12}\pi}\)
To daje nam, że
\(\displaystyle{ \cos\frac{23}{12}\pi=\cos\left(2\pi-\frac{1}{12}\pi\right)=\cos\left(-\frac{1}{12}\pi\right)=
\cos\frac{\pi}{12}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{23}{12}\pi=\sin\left(2\pi-\frac{1}{12}\pi\right)=\sin\left(-\frac{1}{12}\pi\right)=
-\sin\frac{\pi}{12}}\)
No i teraz aby wyliczyć te wartości korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus połowy kąta
\(\displaystyle{ \sin\frac{1}{2}x=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\ \ \
\cos\frac{1}{2}x =\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}}\)
Dla przykładu policzę np.
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{12}=\sin\frac12\cdot\frac{\pi}{6}=
\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=
\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}\)
Podobnie liczysz cosinusa i wstawiasz. Potem już tylko wykonanie działań.

[krychu15]

A skąd to?
\(\displaystyle{ \frac{23}{12}\pi=2\pi-\frac{1}{12}\pi}\)

[cosinus90]

A ja mam takie pytanie - dlaczego tego nie pomnożyłeś po prostu algebraicznie? Masz wymóg aby korzystać z postaci trygonometrycznej?

[chris_f]

Chodzi o to, aby argument (kąt pod sinusem i cosinusem) był z przedziału \(\displaystyle{ [0,frac{pi}{2}}\), bo dla tych kątów te wzory z połówkami kątów są prostsze, no to wykorzystujemy w ten sposób okresowość i parzystość z nieparzystością.

[krychu15]

Treść zadania:
"Stosując postać trygonometryczną wykonać działania:"