Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 56 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
\(\displaystyle{ C = \left\{ z \in C: \ Re(z^2)=2 \ \wedge \ Im(z+i)^2=1 \right\}}\)
Założyłem, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) i otrzymałem, że:
\(\displaystyle{ C = \left\{ x \in R: \ x^2-y^2=2 \ \wedge \ 2xy+2x=1\right\}}\)
1. Dobrze przekształciłem?
2. Jak przedstawić graficznie pierwszy warunek? Przypadki? Drugi też przypadki?
\(\displaystyle{ C = \left\{ z \in C: \ Re(z^2)=2 \ \wedge \ Im(z+i)^2=1 \right\}}\)
Założyłem, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) i otrzymałem, że:
\(\displaystyle{ C = \left\{ x \in R: \ x^2-y^2=2 \ \wedge \ 2xy+2x=1\right\}}\)
1. Dobrze przekształciłem?
2. Jak przedstawić graficznie pierwszy warunek? Przypadki? Drugi też przypadki?
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
I)
\(\displaystyle{ x^2-y^2=2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} =1}\)
Jaką krzywą stożkową opisuje to równanie ?
II)
\(\displaystyle{ 2xy+2x=1 \\ \\ y= \frac{1-2x}{2x}\\ \\ y= \frac{1}{2x}-1}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2=2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} =1}\)
Jaką krzywą stożkową opisuje to równanie ?
II)
\(\displaystyle{ 2xy+2x=1 \\ \\ y= \frac{1-2x}{2x}\\ \\ y= \frac{1}{2x}-1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 56 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Dobrze, pierwsze to elipsa.
Natomiast w drugim można dzielić przez \(\displaystyle{ 2x}\)? Wiem, że byłoby sprzeczne wówczas, gdy \(\displaystyle{ x=0}\), dlatego można to tak opuścić?
Natomiast w drugim można dzielić przez \(\displaystyle{ 2x}\)? Wiem, że byłoby sprzeczne wówczas, gdy \(\displaystyle{ x=0}\), dlatego można to tak opuścić?
Ostatnio zmieniony 19 gru 2011, o 18:35 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 56 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Fakt, to będzie hiperbola.
Swoją drogą, w jaki sposób rysuje się równania hiperboli i elipsy?
Swoją drogą, w jaki sposób rysuje się równania hiperboli i elipsy?
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 56 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Tutaj wszystko już rozumiem, natomiast mam pytanie co do innego zboru:
\(\displaystyle{ A = \left\{ {z \in C : \ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i \le 2| \ \wedge \ \frac{2 \pi }{6} \le argz \le \frac{4 \pi }{3} \right\} }}\)
1. Zakładając, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) doszedłem do:
\(\displaystyle{ |x+(2+y)i \ \le 0|>1}\) i nie wiem co z tym zrobić. Gdyby nie ten warunek wewnątrz modułu myślę, że byłby to obszar poza okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0,-2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_1=1}\). Co się dzieje jeśli wewnatrz modułu mam jeszcze taki warunek?
2. Druga część warunku będzie obszarem między półprostymi, które tworzą z osią x podane kąty. Czy te półproste mam zaznaczać "na oko"? Chodzi mi o to, jak dokładnie zaznaczyc dany kąt, bez użycia kątomierza.
\(\displaystyle{ A = \left\{ {z \in C : \ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i \le 2| \ \wedge \ \frac{2 \pi }{6} \le argz \le \frac{4 \pi }{3} \right\} }}\)
1. Zakładając, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) doszedłem do:
\(\displaystyle{ |x+(2+y)i \ \le 0|>1}\) i nie wiem co z tym zrobić. Gdyby nie ten warunek wewnątrz modułu myślę, że byłby to obszar poza okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0,-2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_1=1}\). Co się dzieje jeśli wewnatrz modułu mam jeszcze taki warunek?
2. Druga część warunku będzie obszarem między półprostymi, które tworzą z osią x podane kąty. Czy te półproste mam zaznaczać "na oko"? Chodzi mi o to, jak dokładnie zaznaczyc dany kąt, bez użycia kątomierza.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
1. Wygląda na błąd w zapisie.
Prawdopodobnie chodziło o pierścień ( wraz z jednym z okręgów ):
\(\displaystyle{ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i |\le 2}\)
2. Dlaczego nie możesz użyć kątomierza ? Możesz np. podzielić sobie ćwiartkę na trzy części za pomocą cyrkla. ( korzystając z trójkąta równobocznego ).
Prawdopodobnie chodziło o pierścień ( wraz z jednym z okręgów ):
\(\displaystyle{ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i |\le 2}\)
2. Dlaczego nie możesz użyć kątomierza ? Możesz np. podzielić sobie ćwiartkę na trzy części za pomocą cyrkla. ( korzystając z trójkąta równobocznego ).
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 56 razy
Zbiór na płaszczyźnie zespolonej
Dziękuję.
Mógłbyś jeszcze sprawdzić, czy dobrze obliczyłem następujące zadanie? Chcę wiedzieć, czy robię to poprawnie, a nie mam odpowiedzi. Należy przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:
1)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2+ \sqrt{2} } - \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=2, \\ \\ \sin \alpha = \frac{- \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) }{2},\\ \\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2+ \sqrt{2} }}{2}}\)
Zatem kąt będzie się znajdował w IV ćwiartce \(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha =337,5^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ z=2[\cos(337,5^\circ) + \sin(337,5^\circ)]}\)
2)
\(\displaystyle{ z=-i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=1, \;\; \sin \alpha =-1, \;\; \cos \alpha =0}\)
Z tego wynika, że kąt nie znajduje się w żadnej z ćwiartek, lecz jest to kąt równy \(\displaystyle{ 270^ \circ}\).
\(\displaystyle{ z=\cos(270^ \circ) + i\sin(270^ \circ)}\)
Mógłbyś jeszcze sprawdzić, czy dobrze obliczyłem następujące zadanie? Chcę wiedzieć, czy robię to poprawnie, a nie mam odpowiedzi. Należy przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:
1)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2+ \sqrt{2} } - \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=2, \\ \\ \sin \alpha = \frac{- \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) }{2},\\ \\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2+ \sqrt{2} }}{2}}\)
Zatem kąt będzie się znajdował w IV ćwiartce \(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha =337,5^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ z=2[\cos(337,5^\circ) + \sin(337,5^\circ)]}\)
2)
\(\displaystyle{ z=-i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=1, \;\; \sin \alpha =-1, \;\; \cos \alpha =0}\)
Z tego wynika, że kąt nie znajduje się w żadnej z ćwiartek, lecz jest to kąt równy \(\displaystyle{ 270^ \circ}\).
\(\displaystyle{ z=\cos(270^ \circ) + i\sin(270^ \circ)}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2011, o 22:00 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.