Zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[smmileey]

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór:

\(\displaystyle{ C = \left\{ z \in C: \ Re(z^2)=2 \ \wedge \ Im(z+i)^2=1 \right\}}\)
Założyłem, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) i otrzymałem, że:
\(\displaystyle{ C = \left\{ x \in R: \ x^2-y^2=2 \ \wedge \ 2xy+2x=1\right\}}\)

1. Dobrze przekształciłem?
2. Jak przedstawić graficznie pierwszy warunek? Przypadki? Drugi też przypadki?

[ares41]

I)
\(\displaystyle{ x^2-y^2=2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} =1}\)
Jaką krzywą stożkową opisuje to równanie ?

II)
\(\displaystyle{ 2xy+2x=1 \\ \\ y= \frac{1-2x}{2x}\\ \\ y= \frac{1}{2x}-1}\)

[smmileey]

Dobrze, pierwsze to elipsa.

Natomiast w drugim można dzielić przez \(\displaystyle{ 2x}\)? Wiem, że byłoby sprzeczne wówczas, gdy \(\displaystyle{ x=0}\), dlatego można to tak opuścić?

[ares41]

1. To nie będzie elipsa. (W równaniu elipsy mamy \(\displaystyle{ +}\) )
2. Tak. Właśnie dlatego możemy podzielić.

[smmileey]

Fakt, to będzie hiperbola.

Swoją drogą, w jaki sposób rysuje się równania hiperboli i elipsy?

[ares41]

W miarę prosty sposób jest to opisane na Wikipedii:



Zapoznaj się z tym i w razie wątpliwości - pytaj.

[smmileey]

Tutaj wszystko już rozumiem, natomiast mam pytanie co do innego zboru:

\(\displaystyle{ A = \left\{ {z \in C : \ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i \le 2| \ \wedge \ \frac{2 \pi }{6} \le argz \le \frac{4 \pi }{3} \right\} }}\)

1. Zakładając, że \(\displaystyle{ z \ = \ x \ + \ yi}\) doszedłem do:
\(\displaystyle{ |x+(2+y)i \ \le 0|>1}\) i nie wiem co z tym zrobić. Gdyby nie ten warunek wewnątrz modułu myślę, że byłby to obszar poza okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0,-2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_1=1}\). Co się dzieje jeśli wewnatrz modułu mam jeszcze taki warunek?

2. Druga część warunku będzie obszarem między półprostymi, które tworzą z osią x podane kąty. Czy te półproste mam zaznaczać "na oko"? Chodzi mi o to, jak dokładnie zaznaczyc dany kąt, bez użycia kątomierza.

[ares41]

1. Wygląda na błąd w zapisie.
Prawdopodobnie chodziło o pierścień ( wraz z jednym z okręgów ):
\(\displaystyle{ 1< |z \ + \ 2 \ + \ 2i |\le 2}\)

2. Dlaczego nie możesz użyć kątomierza ? Możesz np. podzielić sobie ćwiartkę na trzy części za pomocą cyrkla. ( korzystając z trójkąta równobocznego ).

[smmileey]

Dziękuję.

Mógłbyś jeszcze sprawdzić, czy dobrze obliczyłem następujące zadanie? Chcę wiedzieć, czy robię to poprawnie, a nie mam odpowiedzi. Należy przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:

1)
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2+ \sqrt{2} } - \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=2, \\ \\ \sin \alpha = \frac{- \left( \sqrt{2- \sqrt{2} } \right) }{2},\\ \\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2+ \sqrt{2} }}{2}}\)
Zatem kąt będzie się znajdował w IV ćwiartce \(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha =337,5^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ z=2[\cos(337,5^\circ) + \sin(337,5^\circ)]}\)

2)
\(\displaystyle{ z=-i}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ |z|=1, \;\; \sin \alpha =-1, \;\; \cos \alpha =0}\)
Z tego wynika, że kąt nie znajduje się w żadnej z ćwiartek, lecz jest to kąt równy \(\displaystyle{ 270^ \circ}\).
\(\displaystyle{ z=\cos(270^ \circ) + i\sin(270^ \circ)}\)