Wartość sinusa i wzór Moivre

[Grl]

Witam!
Proszę o wskazówkę lub rozwiązanie następującego zadania:

Korzystając ze wzoru Moivre'a na pierwiastkowanie wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{8}}\).

[ares41]

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}}\)

Zatem \(\displaystyle{ x^2=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Z drugiej strony, niech \(\displaystyle{ x=a+bi}\)
Zatem \(\displaystyle{ x^2=a^2-b^2+2abi}\)
Porównując części rzeczywiste i urojone mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\ 2ab= \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)

[Grl]

I wtedy odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) bedzie wartością \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8}}\) natomiast \(\displaystyle{ b}\) będzie wartością \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8}}\) tak?


Nie użyłeś wzoru na pierwiastkowanie, może nie trzeba, ale ja kojarzę, że tego typu zadania robiło się w sposób, że znajdowało się dwa ułamki które po dodaniu (lub odjęciu) dawaly szukany ulamek (w tym wypadku \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}}\)) i nastepnie wzor na pierwiastkowanie. Nie jestem jednak tego pewien i nie potrafię zastosować takiej metody w tym przypadku.

[ares41]

I wtedy odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) bedzie wartością \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8}}\) natomiast \(\displaystyle{ b}\) będzie wartością \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8}}\) tak?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \cos \frac{ \pi }{8}\\b=\sin \frac{ \pi }{8} \end{cases}}\)

Nie użyłeś wzoru na pierwiastkowanie, może nie trzeba, ale ja kojarzę, że tego typu zadania robiło się w sposób, że znajdowało się dwa ułamki które po dodaniu (lub odjęciu) dawaly szukany ulamek (w tym wypadku \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}}\)) i nastepnie wzor na pierwiastkowanie. Nie jestem jednak tego pewien i nie potrafię zastosować takiej metody w tym przypadku.

Skorzystałem ze wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ \left( \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8} \right) ^2=\cos\frac{2\pi}{8}+i\sin\frac{2\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}\)

[Grl]

Według mnie zadanie rozwiązane ok, dzięki. Jednak trzymając się ściśle polecenia chyba chodziło, żeby użyć wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\left|z \right| } \left( \cos \frac{ \alpha +2k \pi }{n}\ + \ i\sin \frac{ \alpha +2k \pi }{n} \right)}\)

Przynajmniej ja tak zrozumiałem polecenie.

[ares41]

Trochę dodając sobie obliczeń możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}}\) jest pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby \(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} } = \sqrt{\frac{ \sqrt{2} }{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2}} = \sqrt{\frac{ \sqrt{2} }{2} } \cdot \sqrt{1+i}}\)

Stosując podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1+i}=a+bi}\), podnosząc obustronnie do kwadratu i porównując części rzeczywiste i urojone, możemy wyznaczyć wartość tego wyrażenia.