Nierówność i wykres

[pawellogrd]

Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z} \right| > 1}\)

Rozwiązywałem tą nierówność i doszedłem do takiego czegoś: \(\displaystyle{ \frac{9}{y^2} + \frac{6}{y} + \frac{9}{x^2} > 0}\)

Co z tym dalej zrobić? Dla wyjaśnienia: przyjąłem \(\displaystyle{ z = x + yi}\)

[BettyBoo]

Ale masz przecież korzystać z interpretacji geometrycznej....

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3i}{z} \right| > 1 \ \Longleftrightarrow\ |z-3i|>|z|,\ z\neq 0}\)

Co ta nierówność oznacza geometrycznie?

Pozdrawiam.

[pawellogrd]

Oznacza, że rozwiązaniem jest zbiór punktów z, których odległość od punktu \(\displaystyle{ z_1 = 3i}\) jest większa niż odległość od punktu \(\displaystyle{ z_2 = 0}\).

Czy dobrze myślę oraz czy w takim przypadku powinienem na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć powyższe dwa punkty, następnie poprowadzić prostą w połowie odległości między nimi (czyli \(\displaystyle{ Im z = \frac{3}{2} i}\)) i zaznaczyć zbiór punktów poniżej tej prostej?

[BettyBoo]

Czy dobrze myślę oraz czy w takim przypadku powinienem na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć powyższe dwa punkty, następnie poprowadzić prostą w połowie odległości między nimi (czyli \(\displaystyle{ Im z = \frac{3}{2} i}\))

Tak (tyle, że \(\displaystyle{ Im z = \frac{3}{2}}\)).

i zaznaczyć zbiór punktów poniżej tej prostej?

Prawie - pamiętaj o założeniu.

Pozdrawiam.

[pawellogrd]

Czyli zbiór punktów poniżej tejże prostej z wyłączeniem \(\displaystyle{ Im z = 0}\) ?

Dzięki za pomoc

Mam jeszcze problem z takim przykładem:

\(\displaystyle{ \left| z^2 + 2iz - 1\right| < 9}\)

Przekształcilem to do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \left| z+i\right| ^2 < 0}\)

i nie bardzo mam pomysł co dalej? Widzę, że \(\displaystyle{ -3 < Re z < 3}\) ale co z \(\displaystyle{ Im z}\)?

A może to ma być po prostu wnętrze koła (bez brzegów) o środku \(\displaystyle{ Im z = -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{9} = 3}\) ?

[BettyBoo]

Czyli zbiór punktów poniżej tejże prostej z wyłączeniem \(\displaystyle{ Im z = 0}\) ?

No niezupełnie - w założeniach masz tylko, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\), więc odpowiedzią jest w/w półpłaszczyzna z wyłączeniem \(\displaystyle{ 0}\).

Przekształcilem to do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \left| z+i\right| ^2 < 0}\)

Gdyby chciała się czepiać, to powiedziałabym, że do postaci \(\displaystyle{ \left| z+i\right| ^2 < 9}\), ale że nie chcę, to nic nie powiem

Ponieważ moduł jest liczbą nieujemną, to z powyższego masz \(\displaystyle{ \left| z+i\right|< 3}\).

o środku \(\displaystyle{ Im z = -1}\)

Dziwnie to sformułowałeś - i niepoprawnie. Ma być: o środku w \(\displaystyle{ -i}\). A poza tym się zgadza - to rzeczywiście wnętrze koła.

Pozdrawiam.

[pawellogrd]

Ok dzięki za poprawkę