Rozwiązanie równania zespolonego

[cichy202]

Mam problem z równaniem:
\(\displaystyle{ z^{8}-256=0}\)

To co próbuję zrobić wygląda tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt[8]{256} +0i}\)

Moduł \(\displaystyle{ |z|=2}\) no i nie bardzo wiem co dalej...

[miodzio1988]

Skorzystaj ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej

[cichy202]

Czyli pierwiastków będzie 8 tak?

\(\displaystyle{ w_{0} = \sqrt[8]{256} \left( \cos \left( \frac{0+2 \cdot \pi \cdot 0}{8} \right) +i\sin \left( \frac{0+2 \cdot \pi \cdot 0}{8} \right) \right) \\
w_{1} = \sqrt[8]{256} \left( \cos \left( \frac{0+2 \cdot \pi \cdot 1}{8} \right) +i\sin \left( \frac{0+2 \cdot \pi \cdot 1}{8} \right) \right)}\)
itd.. tak?

[Psiaczek]

zajedziesz się tymi wzorami, rozłóż sobie :

\(\displaystyle{ z^8-256=(z^4-16)(z^4+16)=(z^2-4)(z^2+4)(z^2-4i)(z^2+4i)=(z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i)(z-( \sqrt{2}+ \sqrt{2}i))(z+( \sqrt{2}+ \sqrt{2}i))(z-( -\sqrt{2}+ \sqrt{2}i))(z+( -\sqrt{2}+ \sqrt{2}i))}\)


dwa ostatnie nawiasy\(\displaystyle{ z^2-4i,z^2+4i}\)rozkładałem w pamięci wiec sprawdź

[cichy202]

A jeszcze jedno pytanie. Który zapis jest poprawny, jeżeli mam \(\displaystyle{ z^{8}=256}\)?

Ten: \(\displaystyle{ z= \sqrt[8]{256+0i}}\) czy \(\displaystyle{ z= \sqrt[8]{256}+0i}\)