Równanie wielomianowe

[ardianmucha]

Cześć,

jak można rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}-x + 1 = 0}\) ?

Nie chodzi mi o pierwiastki rzeczywiste.

Proszę o przedstawienie rozwiązania

[Majeskas]

[Psiaczek]

Cześć,
Proszę o przedstawienie rozwiązania

Poprzednik podał link gdzie opluto klasyczne metody. Ja nie jestem wielkim ich obrońcą, a jednak da się nimi policzyć, i widać przynajmniej co się dzieje, a nie używa się wzorów bez uzasadnienia. Idzie to mniej więcej tak:

1)podstawieniem \(\displaystyle{ x=y- \frac{1}{4}}\) przechodzimy do równania nie zawierającego trzeciej potęgi:

\(\displaystyle{ y^4- \frac{3}{8}y^2- \frac{7}{8}y+ \frac{317}{256}=0}\)

2)Idziemy szkołą włoską szesnastowieczną dopełniamy do kwadratu

\(\displaystyle{ y^4-2 \cdot \frac{3}{8} y^2+ \frac{9}{64} =- \frac{3}{8} y^2+ \frac{7}{8} y- \frac{317}{256} + \frac{9}{64}}\)

\(\displaystyle{ \left( y^2- \frac{3}{8}\right) ^2 =- \frac{3}{8} y^2+ \frac{7}{8} y- \frac{317}{256} + \frac{9}{64}}\)

wprowadzamy parametr \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ \left( y^2- \frac{3}{8}+m\right)^2 =- \frac{3}{8} y^2+ \frac{7}{8} y- \frac{317}{256} + \frac{9}{64}+2m\left( y^2- \frac{3}{8} \right)+m^2}\)

porządkujemy prawą stronę względem potęg \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ \left( y^2- \frac{3}{8}+m\right)^2=\left( 2m- \frac{3}{8}\right) y^2+ \frac{7}{8}y+\left( m^2- \frac{3}{4}m- \frac{281}{256} \right)(***)}\)

obliczamy deltę prawej strony i przyrówujemy do zera, prowadzi to do równania:

\(\displaystyle{ 8m^3- \frac{15}{2}m^2- \frac{245}{32}x+ \frac{451}{512} =0}\)

to jest przypadek nieprzywiedlny, ale \(\displaystyle{ 451=11 \cdot 41}\) i jest pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ m= -\frac{11}{16}}\). Jeżeli ktoś ma dokładny kalkulator i zna rozwinięcia dziesiętne ułamków dojdzie też do tego ze wzorów trygonometrycznych dla nieprzywiedlnego.

Podstawiając znalezione \(\displaystyle{ m}\) do \(\displaystyle{ (***)}\) otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ \left( y^2- \frac{17}{16} \right) ^2=- \frac{7}{4}\left( y+ \frac{1}{4} \right)^2}\)

jako że najtrudniejsza część już zrobiona tu pozwalam sobie odpocząć -- 10 gru 2011, o 11:56 --A to wersja bez zerowania wyrazu z trzecią potęgą:

\(\displaystyle{ x^4+x^3=x-1}\)

\(\displaystyle{ x^4+x^3+ \frac{1}{4}x^2= \frac{1}{4} x^2+x-1}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{2} x\right) ^2=\frac{1}{4} x^2+x-1}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{2} x+m\right) ^2=\frac{1}{4} x^2+x-1+2m\left( x^2+ \frac{1}{2} x\right)+m^2}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{2} x+m\right) ^2=\left( 2m+ \frac{1}{4} \right) x^2+(m+1)x+(m^2-1)(+++)}\)

dla trójmianu z prawej strony warunek \(\displaystyle{ b^2=4ac}\)

\(\displaystyle{ (m+1)^2=4\left( 2m+ \frac{1}{4} \right)(m^2-1)}\)

\(\displaystyle{ (m+1)^2=(8m+1)(m^2-1)}\)

widać że \(\displaystyle{ m=-1}\) jest pierwiastkiem tego równania. Wstawiamy to do \(\displaystyle{ (+++)}\)

i otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{1}{2}x-1 \right)^2=- \frac{7}{4}x^2 =\left( \frac{ \sqrt{7} }{2}ix \right) ^2}\)

[Mariusz M]

Brawo Psiaczek co do metody podanej przez poprzednika to w zupełności się z Tobą zgadzam
(no może z tą różnicą że bardziej bym bronił tych klasycznych metod)

Można po tym pierwszym podstawieniu było zastosować kolejne \(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
dostalibyśmy układ równań który przypominałby wzory Viete dla równania trzeciego stopnia
(Jak już podstawiłeś to może można by w tą stronę pójść )

Jeżeli chodzi o rozłożenie na czynniki kwadratowe to pomysł bez zerowania wyrazu \(\displaystyle{ x^3}\)
jest chyba lepszy (wg mojej opinii)

Psiaczek zadanie jest w dziale o liczbach zespolonych więc to że wybrałeś taki pierwiastek rezolwenty
nie ma aż takiego znaczenia o wiele ważniejsze jest to że widać co się dzieje z tym równaniem

Gdyby chciał skorzystać z podstawienia \(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
to by trzeba było jeszcze wytłumaczyć skąd wiemy że to podstawienie
da nam układ równań przypominający wzory Viete równania trzeciego stopnia
(Aby wszystko było zrozumiałe powinniśmy najpierw wiedzieć że stosując to
podstawienie otrzymamy układ równań przypominający wzory Viete wielomianu trzeciego stopnia)

Rozkład który przedstawił Psiaczek jest ok