podniesienie do potegi

[Jacek_fizyk]

mam pytanie
jesli wiemy ze
\(\displaystyle{ (e^{ \pm \pi i n})= (-1)^n}\)
ile bedzie wynosic
\(\displaystyle{ (e^{ \pm \frac{\pi}{2} in})=?}\)

[BettyBoo]

mam pytanie
jesli wiemy ze
\(\displaystyle{ (e^{ \pm \pi i n})= (-1)^n}\)

To ja też mam pytanie - a skąd to wiemy?

Pozdrawiam.

[Jacek_fizyk]

to raczej pytanie do naszego nauczyciela ktory takie cos nam podal

[BettyBoo]

No tak....to wiele wyjaśnia

To wynika ze wzoru Eulera:

\(\displaystyle{ e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha}\)

i z własności funkcji trygonometrycznych. Podobnie możesz zapisać ogólny wzór w tym przypadku, o który pytasz.

Pozdrawiam.

[Jacek_fizyk]

szkoda, ze u nasz nie uczysz na naszej uczelni BettyBo

dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) wychodzi mi cos takiego

\(\displaystyle{  e^{\frac{\pi}{2}i}=\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})=i\sin(\frac{\pi}{2})=i}\)
natomiast

\(\displaystyle{  e^{-\frac{\pi}{2}i}=\cos(\frac{-\pi}{2})+i\sin(\frac{-\pi}{2})=-i\sin(\frac{\pi}{2})=-i}\)

tak?

ale jak to teraz uogolnic do warunku z n
\(\displaystyle{ e^{ \pm \frac{\pi}{2}in}}\)?

czy mozna tak napisac?

\(\displaystyle{ e^{ \pm \frac{\pi}{2}in}=\cos(\frac{ \pm \pi n}{2})+i\sin(\frac{ \pm \pi n}{2})}\)?

tak?

ale wtedy wynik bedzie zalezal od tego czy n jest parzyste albo nieparzyste... bo jesli n jest parzyste to przetrwaja tylko cosinusy i bedzie \(\displaystyle{ (-1)^n}\) natomiast jesli n beda nieparzyste to zostana nam tylko sinusy

[BettyBoo]

czy mozna tak napisac?

\(\displaystyle{ e^{ \pm \frac{\pi}{2}in}=\cos(\frac{ \pm \pi n}{2})+i\sin(\frac{ \pm \pi n}{2})}\)?

tak?

Tak. Tylko fajnie byłoby jeszcze przeskalować nawiasy

ale wtedy wynik bedzie zalezal od tego czy n jest parzyste albo nieparzyste... bo jesli n jest parzyste to przetrwaja tylko cosinusy i bedzie \(\displaystyle{ (-1)^n}\) natomiast jesli n beda nieparzyste to zostana nam tylko sinusy

Masz rację, wynik będzie zależał od parzystości \(\displaystyle{ n}\), ale nie do końca tak, jak napisałeś.

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, czyli \(\displaystyle{ n=2k}\), to zostają tylko cosinusy i będzie \(\displaystyle{ \cos(\pm k\pi)=(-1)^k}\). W przypadku nieparzystym, czyli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) trzeba trochę subtelniej poczynać sobie z tymi minusami. Zostaną wtedy tylko sinusy i ze wzorów redukcyjnych będzie \(\displaystyle{ \sin\left(\pm \frac{\pi}{2}}\pm k\pi\right)=\pm\cos(\pm k\pi)}\), a więc ostatecznie

\(\displaystyle{ e^{\pm \frac{\pi}{2}in}=\left\{\begin{array}{cl}(-1)^\frac{n}{2}&\quad n\ \mathrm{parzyste}\\ }\pm (-1)^\frac{n-1}{2}i}& \quad n\ \mathrm{nieparzyste}\end{array}\right.}\)

Pozdrawiam.

[Jacek_fizyk]

dzieki i jeszcze raz dzieki