Ciekawy przypadek liczby zespolonej.

[kamcio19]

Witam może mi ktoś pomóc to rozwiązać, bo nie potrafię sobie poradzić...

\(\displaystyle{ ( 1+ \frac{\sqrt{3}-i}{2})^{24}}\)


a i jeszcze jak to ugryść: (1+ cos φ + i sin φ)?!

Oba przypadki należy przedstawić w postaci trygonom.


thx za ew. pomoc,
Kamil

[OWinfrey]

\(\displaystyle{ z=(1+cosx+isinx)=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(1+cosx)^2+(sinx)^2}=\sqrt{1+(cosx)^2+2cosx+(sinx)^2}=\sqrt{2+2cosx}=2cos\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(\frac{1+cosx}{\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}+i*\frac{sinx}{2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}})}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1+cosx}{\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}=\sqrt{2+2cosx}=2cos\frac{x}{2}}\)
I jak dalej?

[ Dodano: 30 Styczeń 2007, 21:54 ]
\(\displaystyle{ (1+\frac{\sqrt{3}-i}{2})^24}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(\frac{2+\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2+\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\frac{i}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}})}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos^2\alpha=\frac{2+\sqr{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha=1+\frac{\sqr{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow cos2\alpha=\frac{\Pi}{3} =\frac{\Pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{3\Pi}{2};2\Pi)}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{11\Pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ z^24=|z|^24(cos24\alpha+isin24\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=(2+\sqr{3})^12 (cos0+isin0)=(2+sqr{3})^12}\)
\(\displaystyle{ Dobrze to? /\(\displaystyle{ }\)}\)

[kamcio19]

Rozwiązanie 1szego zadania wydaje sie być dobre i logiczne... tylko nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ 2cos^2\Phi}\)

a nagle jest \(\displaystyle{ cos2\Phi = \frac{\Phi}{3}}\)


A co do 2 to \(\displaystyle{ 2 cos\frac{\Pi}{2}}\) ... to chyba można z kątów połówkowych.... nie umiem wzoru znaleść żeby to zweryfikować ;/

[OWinfrey]

no wlasnie to z katow połowkowych
wkradl mi sie tam mały bedzik- brak pierwiastka
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2+\sqrt{\sqr{3}}}}{2}}\)
wzór na połowkowe wyglada tak:
\(\displaystyle{ cos 2\alpha=2cos^2\alpha -1}\)
\(\displaystyle{ Wiec \frac{\sqrt{3}}{2}= 2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha=1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
A wynik koncowy :
\(\displaystyle{ z=(2+\sqrt{3})^{12} (cos0+isin0)=(2+\sqrt{3})^{12}}\)
I chyba juz zadnych jedynek nie trzeba dodawać.

[ Dodano: 31 Styczeń 2007, 09:46 ]
Nie wiem czy twoje zadania eXaminowe, były identyczne z moimi, czy to tylko to 1 zadanie:)
Miałeś zadanie w ktorym chodziło o jakies przeksztalcenie? To bylo z liczb zespolonych.

[kamcio19]

Żadngo z powyższych nie miałem na E poprostu przeglądam ubiegłoroczne

mój zestaw wyglądał tak:

Obliczyć \(\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{8^n-5^n+2^n}}\) czyli 3 ciągi

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\((cos x)^\frac{1}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ (1 +cos x +i sin x)^n}\)

\(\displaystyle{ t(z)=z^2+1}\) obraz w \(\displaystyle{ imz=1}\) i tu nie wiem nawet co trzeba dokładnie zrobic, byłbym wdzięczny za wskazówki

extrema fk: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(x^2+1)arctgx-\frac{\Pi}{8}x^2-\frac{x-1}{2}}\)

dł. łuku krzywej \(\displaystyle{ y=\sqrt{x-x^2} + arcsin\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle{ \int{\frac{xdx}{\sqrt{5-2x-x^2}}}}\)

Jak by CI sie któreś udało rozwiązac byłbym wdzięczny

Ale proponuje ażebyś rozwiązała na kartce i zeskanowała - o wiele wygodniej

[OWinfrey]

Tak tez wygladal moj zestaw
\(\displaystyle{ t(z)=z^2+1}\) obraz w \(\displaystyle{ imz=1}\)

Tego tez nie potrafilam rozszyfrować

[kamcio19]

A masz go gdzieś rozwiązanego... bo np granicy jeszcze nie policzyłem i akurat nie potrafie tego sposobu z tą całką (za to byłbym najbardziej wdzięczny ).


Ps twidze że już poprawiłaś

ps może ktoś sprawdzić:

\(\displaystyle{ \int{\frac{xdx}{\sqrt{-x^2-2x+5}}}}\) =

\(\displaystyle{ \int{\frac{x+1}{\sqrt{-x^2-2x+5}}dx} - t{\frac{dx}{\sqrt{-x^2-2x+5}}}}\)

1) podstawieni: \(\displaystyle{ t^2=-x^2-2x+5}\)
\(\displaystyle{ 2tdt=(-2x-2)dx/:(-2)}\)
\(\displaystyle{ -tdt=(x+1)dx}\)

czyli \(\displaystyle{ \int{\frac{-tdt}{t}} = -t}\)

2) \(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{\sqrt{-x^2-2x+5}}}}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{\sqrt{(-x-1)^2+4}}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{\frac{(-x-1)^2}{2}+1}}}}\)

postawienie \(\displaystyle{ \frac{(-x-1)}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\int{\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}}}\)

i znowu podstawienei \(\displaystyle{ s^2=t^2+1}\)
\(\displaystyle{ ds=dt}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}\int{\frac{ds}{s}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2}ln|s|}\)

no i dalej to tylko powrót?

[OWinfrey]

1 ) jest dobrze
2) powinno byc z podstawienia Eulera

II podstawienie dla c>0
\(\displaystyle{ \sqrt{-x^2-2x+5} = atx+ \sqrt{c} =-tx+ \sqrt{5}}\)

wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{2\sqrt{5}t-2}{1+t^2}}\)

pozniej liczymy dx i wstawiamy tu

\(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{-tx+ \sqrt{5}}}}\)

[PuniYa]

1. Jak dla mnie (x+1)dx nie jest rowne xdx.
Tak samo powinno isc przed podstawienie euler'a.
Czyli robimy identycznie jak OWinfrey zrobila z 2 tylko dojdzie nam mnozenie przez x w liczniku

[kamcio19]

halo ale ja nie umiem eulera ;/ może ktoś mi to wytłumaczy po krótce

[ Dodano: 1 Luty 2007, 22:34 ]

2) powinno byc z podstawienia Eulera

Dlaczego powinno ? przecież nie ważne jak ważne że dobrze

[michal123]

\(\displaystyle{ z=(1+cosx+isinx)=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(1+cosx)^2+(sinx)^2}=\sqrt{1+(cosx)^2+2cosx+(sinx)^2}=\sqrt{2+2cosx}=2cos\frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(\frac{1+cosx}{\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}+i*\frac{sinx}{2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}})}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1+cosx}{\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}=\sqrt{2+2cosx}=2cos\frac{x}{2}}\)
I jak dalej?

[ Dodano: 30 Styczeń 2007, 21:54 ]
\(\displaystyle{ (1+\frac{\sqrt{3}-i}{2})^24}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(\frac{2+\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2+\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\frac{i}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}})}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos^2\alpha=\frac{2+\sqr{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha=1+\frac{\sqr{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \rightarrow cos2\alpha=\frac{\Pi}{3} =\frac{\Pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{3\Pi}{2};2\Pi)}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{11\Pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ z^24=|z|^24(cos24\alpha+isin24\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=(2+\sqr{3})^12 (cos0+isin0)=(2+sqr{3})^12}\)
Dobrze to? /

Albo tu jest pelno bledów albo ja juz matematyki nie kumam. Od kiedy to
\(\displaystyle{ \rightarrow cos2\alpha=\frac{\Pi}{3} =\frac{\Pi}{6}}\)
??A nie powinno byc
\(\displaystyle{ \rightarrow 2\alpha=\frac{\Pi}{6} =\frac{\Pi}{12}}\)
? Prosze niech ktos jeszcze raz zerknie na to zadanie i je poprawi

\(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{3\Pi}{2};2\Pi)}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{11\Pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ z^24=|z|^24(cos24\alpha+isin24\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=(2+\sqr{3})^12 (cos0+isin0)=(2+sqr{3})^12}\)
a teko to ja wogole nie czaje plisa o wytlumaczenie tego "zabiegu"

[OWinfrey]

halo ale ja nie umiem eulera ;/ może ktoś mi to wytłumaczy po krótce

[ Dodano: 1 Luty 2007, 22:34 ]

2) powinno byc z podstawienia Eulera

Dlaczego powinno ? przecież nie ważne jak ważne że dobrze

z Eulera mysle byloby najlatwiej

[ Dodano: 2 Luty 2007, 10:35 ]

postawienie \(\displaystyle{ \frac{(-x-1)}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ -dx=dt}\)

Tu masz blad \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}dx=dt}\)

[kamcio19]

\(\displaystyle{ z^24=|z|^24(cos24\alpha+isin24\alpha)}\)
\(\displaystyle{ z=(2+\sqr{3})^12 (cos0+isin0)=(2+sqr{3})^12}\)
a teko to ja wogole nie czaje plisa o wytlumaczenie tego "zabiegu"

\(\displaystyle{ z^{24}=|z|^{24}(cos24\alpha+isin24\alpha)}\)

\(\displaystyle{ z=(2+\sqrt{3})^{12} (cos0+isin0)=(2+\sqrt{3})^{12}}\)

może teraz będzie jaśniej:D

[ Dodano: 2 Luty 2007, 10:50 ]

z Eulera mysle byloby najlatwiej

ale ja tego nie czaje ;/ a nikt mi nie chce wytłumaczyć tego w 3 zdaniach.... (wzorki sobie na wiki sprawdze)

[OWinfrey]

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2+\sqrt{\sqr{3}}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos^2\alpha=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha=1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2cos^2\alpha -1=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
wzór na połowkowe wyglada tak:
\(\displaystyle{ cos 2\alpha=2cos^2\alpha -1}\)
Wiec \(\displaystyle{ 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
michal123 ma racje:
\(\displaystyle{ \rightarrow 2\alpha=\frac{\Pi}{6} \rightarrow \alpha=\frac{\Pi}{12}}\)
Patrzac na to:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2+\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\frac{i}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}})}\)
stwierdzamy ze \(\displaystyle{ cos\alpha >0}\), \(\displaystyle{ sin\alpha 0, c>0lub delta >0 / wzorki a wiki }\)

[michal123]

\(\displaystyle{ cos\alpha >0, sin\alpha}\)