Moduł i faza liczb zespolonych z wartościami trygonometr.

[wdr]

Podaj moduł i fazę liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ z= \frac{1+ \cos ( 2\alpha) + i \sin ( 2\alpha)}{1+ \cos ( 2\alpha) - i \sin ( 2\alpha)} ; 0<\alpha<\frac{\pi}{2}}\)


\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1+i \tan ( \alpha)}{1-i \tan ( \alpha)} ; 0<\alpha<\frac{\pi}{2}}\)

W pierwszym odpowiedzią jest \(\displaystyle{ |z|=1 ; \arg z = 2\alpha}\) a w drugim \(\displaystyle{ z_{0}=e^{i\frac{2\alpha}{3}} ; z_{1}=e^{i\frac{2\alpha +2\pi}{3}} ; z_{2}=e^{i\frac{2\alpha +4\pi}{3}}}\)

Jak się za to zabrać? Próbowałem najpierw wyrzucić \(\displaystyle{ i}\) z mianownika aby mieć osobno część rzeczywistą i część zespoloną a później policzyć moduł, ale nie wychodziły mi liczby tylko transformacje wartości trygonometrycznych w nonsensownych potęgach :/ Wiem że w jakiś sposób sinusy i cosinusy powinny się skrócić, ale nie wychodzi mi to po prostu.

[BettyBoo]

1) wykorzystaj wzór na cosinus kąta podwojonego w postaci \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=2\cos ^2\alpha-1}\) i wzór na sinus kąta podwojonego i uprość co się da

2) pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) i zapisz w postaci wykładniczej

Pozdrawiam.

[wdr]

Wielkie dzięki, teraz wszystko ładnie wychodzi :]