Zamiana kosinusa na liczbę urojoną

[jacyk]

Witam.
Ostatnio na zajęciach w jednym z zadań w celu dalszych obliczeń trzeba było zamienić funkcję kosinus na liczbę urojoną, a że zadanie rozwiązywał sam prowadzący na tablicy, to nie bawił się we wszystkie przekształcenia, tylko po jednej stronie równania napisał:
\(\displaystyle{ \cos\left( x-y\right)}\)
a po drugiej:
\(\displaystyle{ e ^{j(x-y)}}\)
Z tego co wiem, co chyba prędzej powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{e ^{j(x-y)}+e ^{-j(x-y)}}{2}}\)
Dlatego czy ktoś mógłby mi powiedzieć, czy postać podana przez prowadzącego jest prawidłowa? Jeśli tak, to byłbym niezmiernie wdzięczny, gdyby zostało pokazane jakieś wyprowadzenie.
Od razu uprzedzam, że nawet gdybym podszedł do prowadzącego, żeby mi wytłumaczył jak to zrobił, to na pewno wykręcałby się, że nie ma czasu, albo coś takiego
Z góry dziękuje za odpowiedź

[BettyBoo]

Z tego co wiem, co chyba prędzej powinno być:

No i dobrze wiesz.

czy postać podana przez prowadzącego jest prawidłowa?

Zależy, co tak naprawdę robił prowadzący na tablicy Może nie chodziło o równość, tylko o jakąś zależność? A może wiadomo było, że część urojona tej liczby jest równa 0 (bo wtedy rzeczywiście byłaby taka równość)? Trudno mi powiedzieć, bo mnie tam nie było

Pozdrawiam.

[jacyk]

Tak dokładniej to liczyliśmy zadanie, w którym mieliśmy podaną wartosć pola magnetycznego w próżni (\(\displaystyle{ \vec{H}}\)), a mieliśmy obliczyć średnią wartość wektora Poyntinga.
I w treści zadania było podane:
\(\displaystyle{ \vec{H}= \vec{ i_{x}} \cdot H _{0} \cdot \cos ( wt- \beta _{0}z)+2 \cdot \vec{ i_{y}} \cdot H _{0} \cdot \cos ( wt- \beta _{0}z)}\)
a prowadzący napisał na tablicy tak:
\(\displaystyle{ \vec{H}= \vec{ i_{x}} \cdot H _{0} \cdot \cos ( wt- \beta _{0}z)+2 \cdot \vec{ i_{y}} \cdot H _{0} \cdot \cos ( wt- \beta _{0}z)= \vec{ i_{x}} \cdot H _{0} \cdot e ^{j(wt-\beta _{0}z)} +\\ +2 \cdot \vec{ i_{y}} \cdot H _{0} \cdot e ^{j(wt-\beta _{0}z)}}\)
Dlatego chyba w takim przypadku część urojona nie jest równa zero. A nawet gdyby tak było, to czemu znika współczynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed \(\displaystyle{ e ^{j(wt-\beta _{0}z)}}\)?

[BettyBoo]

O mój drogi, ten Poy-coś tam to kompletnie jest mi nieznany, więc nie wiem, czy te brakujące sinusy są zerowe czy też brakujący wektor zrobiony z sinusów jest zerowy To muszą być jakieś własności pola magnetycznego albo jakieś związki między tymi wszystkimi literkami, a o tym to ja nic nie wiem.

Natomiast na drugie pytanie potrafię odpowiedzieć.

\(\displaystyle{ e ^{j(wt-\beta _{0}z)}=\cos(wt-\beta _{0}z)+j\sin (wt-\beta _{0}z)}\)

więc jeśli część urojona jest równa 0, to masz równość \(\displaystyle{ e ^{j(wt-\beta _{0}z)}=\cos(wt-\beta _{0}z)}\)

Pozdrawiam.

[jacyk]

\(\displaystyle{ e ^{j(wt-\beta _{0}z)}=\cos(wt-\beta _{0}z)+j\sin (wt-\beta _{0}z)}\)

więc jeśli część urojona jest równa 0, to masz równość \(\displaystyle{ e ^{j(wt-\beta _{0}z)}=\cos(wt-\beta _{0}z)}\)

A no tak, chyba chciałem za dużo kombinować i wydaje mi się, że właśnie o to chodziło. Jednak to prawda, że najciemniej pod latarnią
Tak więc dziękuje za pomoc