narysować zbiór liczb zespolonych

freevolity · Post autor: **freevolity** » 30 lis 2011, o 18:57

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania. Mam narysować zbiór liczb zespolonych spełniających podane warunki:
\(\displaystyle{ 3\left | z+i \right |\leqslant \left | z^{2}+1 \right |< \left | z-i \right |}\)

Rozbiłam to na dwa równania, pod "z" podstawiłam x+iy po czym skorzystałam z własności modułu liczby zespolonej, czyli wsadzilam pod pierwiastki, ale nic mi z tego nie wychodzi...

Qń · Post autor: Qń » 30 lis 2011, o 19:54

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z^2+1=(z+i)(z-i)}\).

Q.

freevolity · Post autor: **freevolity** » 30 lis 2011, o 20:04

Wielkie dzięki Dla upewnienia się czy dobrze liczę... rozwiązaniem jest cała płaszczyzna zespolona za wyjątkiem koła o środku w punkcie (0,1)?

Qń · Post autor: Qń » 30 lis 2011, o 20:19

freevolity pisze:za wyjątkiem koła o środku w punkcie (0,1)?

Za wyjątkiem jakiego koła o środku w tym punkcie? Nie podałaś promienia.

Q.

freevolity · Post autor: **freevolity** » 30 lis 2011, o 20:30

Całe zadanie składa się tak jakby z dwóch równań... z pierwszego wychodzi okrąg o środku w (0,-1) i promieniu 3 (zaznaczamy przestrzeń wokół okręgu razem z jego krawędzią). Z drugiego równania otrzymujemy tez okrąg o środku w tym samym punkcie, ale o promieniu 1, tym razem zaznaczamy przestrzeń wewnątrz tego kola....

Wiec jeśli dobrze rozumuję to rysunek końcowy to cala płaszczyzna zespolona bez pierścienia który nie został zaznaczony...

Qń · Post autor: Qń » 30 lis 2011, o 21:52

Nie.

Obie nierówności muszą być spełnione jednocześnie, więc bierzemy część wspólną obu okręgów, a nie sumę. Ponadto te okręgi mają różne środki. I na samym wstępie należy sprawdzić czy możemy sobie upraszczać nierówności, czyli sprawdzić co dzieje się gdy \(\displaystyle{ z\in\{i,-i\}}\) (czyli wtedy gdy skracanie byłoby dzieleniem przez zero).

Q.